1. (2,0) Verifique que a edo \left(2 x y+\cos x-7 y^{2}\right) d x+\left(2 y-14 x y+x^{2}\right) d y=0 é exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\left(2 x y+\cos x-7 y^{2}\right)\,d x+\left(2 y-14 x y+x^{2}\right)\,d y=0
e pede duas coisas: (a) verificar que a equação é exata e (b) resolvê‑la (ou seja, encontrar a família de soluções gerais).
Informações relevantes fornecidas:
M(x,y)=2 x y+\cos x-7 y^{2}
N(x,y)=2 y-14 x y+x^{2}

Passo 2

O que significa “exata”? Vou explicar passo a passo. Uma equação da forma
M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y = 0
é exata em uma região quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma maneira prática de verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é checar se as derivadas mistas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso valer numa região, então a equação é exata nessa região. Vou aplicar essa verificação ao nosso M e N.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(2 x y+\cos x-7 y^{2}\right).
Aqui x é tratado como constante ao derivar em relação a y. Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(2 x y)=2 x, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(\cos x)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(-7 y^{2})=-14 y.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=2 x-14 y.
Agora a derivada parcial de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2 y-14 x y+x^{2}\right).
Aqui y é tratado como constante ao derivar em relação a x. Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(2 y)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(-14 x y)=-14 y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2 x.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}=-14 y+2 x.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=2 x-14 y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-14 y+2 x.
Como essas expressões são idênticas (apenas a ordem da soma difere), temos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Logo a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=2 x y+\cos x-7 y^{2}.
Para encontrar \Phi integraremos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(2 x y+\cos x-7 y^{2}\right)\,d x.
Vou integrar termo a termo, mostrando por que cada antiderivada é dessa forma:
  • \int 2 x y\,d x: como y é constante, é y\int 2 x\,d x = y\cdot x^{2} = x^{2}y.
  • \int \cos x\,d x=\sin x.
  • \int -7 y^{2}\,d x: sendo y^{2} constante em relação a x, é -7 y^{2}\int 1\,d x = -7 x y^{2}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y (pois a derivada parcial em x de qualquer função de y é zero), obtemos
\Phi(x,y)=x^{2}y+\sin x-7 x y^{2}+g(y),
onde g(y) é uma função ainda desconhecida que depende só de y.

Passo 5

Agora usamos a condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar g(y). Calculemos \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+\sin x-7 x y^{2}+g(y)\bigr).
Derivando termo a termo (agora x é tratado como constante):
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(\sin x)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(-7 x y^{2})=-14 x y, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(g(y))=g'(y).
Portanto
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}-14 x y + g'(y).
Mas sabemos que isso deve ser igual a N(x,y), que é
N(x,y)=2 y-14 x y+x^{2}.
Igualando:
x^{2}-14 x y + g'(y)=x^{2}-14 x y + 2 y.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados ( x^{2}-14 x y), obtemos
g'(y)=2 y.
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y)=\int 2 y\,d y = y^{2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante. Podemos incorporar C_{1} mais tarde na constante geral da solução.

Passo 6

Substituindo g(y)=y^{2} (ignorar C_{1} por enquanto) em \Phi, obtemos a função potencial completa:
\Phi(x,y)=x^{2}y+\sin x-7 x y^{2}+y^{2}.
A solução geral da equação exata vem da condição implícita
\Phi(x,y)=C,
onde C é uma constante arbitrária. Assim a família de curvas solução é dada por
x^{2}y+\sin x-7 x y^{2}+y^{2}=C.

Passo 7

Vamos fazer uma verificação rápida (útil na prova): derivando a expressão \Phi(x,y) em relação a x obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=2 x y+\cos x-7 y^{2}=M(x,y),
e em relação a y
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}-14 x y+2 y=N(x,y).
Isso confirma que construímos corretamente \Phi e, portanto, que a solução implícita é correta. Parabéns — a equação era exata e foi resolvida.

Resposta

x^{2}y+\sin x-7 x y^{2}+y^{2}=C

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