-
Verifique que a edo
é exata e resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede duas coisas: (a) verificar que a equação é exata e (b) resolvê‑la (ou seja, encontrar a família de soluções gerais).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que significa “exata”? Vou explicar passo a passo. Uma equação da forma
é exata em uma região quando existe uma função potencial
tal que
Uma maneira prática de verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é checar se as derivadas mistas coincidem:
Se isso valer numa região, então a equação é exata nessa região. Vou aplicar essa verificação ao nosso
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Derivando termo a termo:
Portanto
Agora a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Derivando termo a termo:
Portanto
Comparando:
Como essas expressões são idênticas (apenas a ordem da soma difere), temos
Logo a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, existe
tal que
Para encontrar
integraremos
em relação a
, tratando
como constante:
Vou integrar termo a termo, mostrando por que cada antiderivada é dessa forma:
-
: como é constante, é . -
. -
: sendo constante em relação a , é .
Somando e adicionando uma função arbitrária de
(pois a derivada parcial em
de qualquer função de
é zero), obtemos
onde
é uma função ainda desconhecida que depende só de
.
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculemos
:
Derivando termo a termo (agora
é tratado como constante):
Portanto
Mas sabemos que isso deve ser igual a
, que é
Igualando:
Cancelando os termos iguais em ambos os lados (
), obtemos
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos incorporar
mais tarde na constante geral da solução.
Passo 6
Substituindo
(ignorar
por enquanto) em
, obtemos a função potencial completa:
A solução geral da equação exata vem da condição implícita
onde
é uma constante arbitrária. Assim a família de curvas solução é dada por
Passo 7
Vamos fazer uma verificação rápida (útil na prova): derivando a expressão
em relação a
obtemos
e em relação a
Isso confirma que construímos corretamente
e, portanto, que a solução implícita é correta. Parabéns — a equação era exata e foi resolvida.