Encontre o domínio das seguintes funções:
\quad f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-9\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função \;f(x,y)=\ln\big(x^{2}+y^{2}-9\big)\.
Informações dadas: a função é a função logarítmica natural aplicada à expressão \;x^{2}+y^{2}-9\.
Pergunta explícita: para quais pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} a expressão \;f(x,y) está bem definida (ou seja, existe como número real)?

Passo 2

Entendimento essencial sobre o logaritmo natural: a função \;\ln(t) está definida apenas para argumentos estritamente positivos, isto é, apenas quando \;t>0\.
Explicando por que: \ln(t) representa o expoente ao qual se deve elevar e para obter t. Não existe expoente real que transforme e em zero ou em número negativo, portanto \ln(0) e \ln(\text{negativo}) não estão definidos no conjunto dos números reais.
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
x^{2}+y^{2}-9>0.

Passo 3

Resolver a desigualdade algébrica obtida. Somando 9 em ambos os lados:
x^{2}+y^{2}>9.
Essa é a condição que os pontos (x,y) devem satisfazer para que \ln\big(x^{2}+y^{2}-9\big) exista como número real.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade \;x^{2}+y^{2}>9\.
A equação \;x^{2}+y^{2}=9 descreve uma circunferência de centro em (0,0) e raio 3. A desigualdade \;x^{2}+y^{2}>9 corresponde a todos os pontos do plano que estão fora dessa circunferência (isto é, fora do disco fechado de raio 3). Observação importante: a própria fronteira \;x^{2}+y^{2}=9 não está incluída, porque nela o argumento do logaritmo seria zero, e \ln(0) não existe.

Passo 5

Outra forma de ver em coordenadas polares (opcional, mas esclarecedor): escrevendo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, temos x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição vira
r^{2}>9 \quad\Longleftrightarrow\quad r>3.
Isto mostra claramente que o domínio é todos os pontos com distância ao origem maior que 3.

Passo 6

Verificações rápidas por exemplos (ajuda para a prova):
  • Ponto (0,0): \;x^{2}+y^{2}-9=-9\le 0, então não pertence ao domínio.
  • Ponto (3,0): \;x^{2}+y^{2}-9=0, então não pertence ao domínio (fronteira excluída).
  • Ponto (4,0): \;x^{2}+y^{2}-9=7>0, então pertence ao domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>9\}

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