Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Informações dadas: a função é a função logarítmica natural aplicada à expressão
Pergunta explícita: para quais pares a expressão
está bem definida (ou seja, existe como número real)?
Informações dadas: a função é a função logarítmica natural aplicada à expressão
Pergunta explícita: para quais pares
Passo 2
Entendimento essencial sobre o logaritmo natural: a função
está definida apenas para argumentos estritamente positivos, isto é, apenas quando
Explicando por que: representa o expoente ao qual se deve elevar
para obter
. Não existe expoente real que transforme
em zero ou em número negativo, portanto
e
não estão definidos no conjunto dos números reais.
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
Explicando por que:
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
Passo 3
Resolver a desigualdade algébrica obtida. Somando
em ambos os lados:
Essa é a condição que os pontos
devem satisfazer para que
exista como número real.
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
A equação descreve uma circunferência de centro em
e raio
. A desigualdade
corresponde a todos os pontos do plano que estão fora dessa circunferência (isto é, fora do disco fechado de raio
). Observação importante: a própria fronteira
não está incluída, porque nela o argumento do logaritmo seria zero, e
não existe.
A equação
Passo 5
Outra forma de ver em coordenadas polares (opcional, mas esclarecedor): escrevendo
e
, temos
. A condição vira
Isto mostra claramente que o domínio é todos os pontos com distância ao origem maior que
.
Passo 6
Verificações rápidas por exemplos (ajuda para a prova):
- Ponto
: , então não pertence ao domínio. - Ponto
: , então não pertence ao domínio (fronteira excluída). - Ponto
: , então pertence ao domínio.