Determine as derivadas parciais de 1^a e 2^a ordem das funções:
f(x, y, z, t)=x y^2t+2 z

Passo 1

Estamos diante da função f(x,y,z,t)=x y^2t+2z. O conteúdo envolvido é o de derivadas parciais de primeira e segunda ordem de funções de várias variáveis e usaremos a regra do quociente e a regra do produto para realizar as derivadas.

Passo 2

A regra do quociente para uma função f(u)=N(u)D(u) afirma que
partial fpartial u=partial Npartial u,D - N,partial Dpartial uD^2
Vamos aplicar essa fórmula para cada variável.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem em x e y. Para x, como o denominador não depende de x, temos partial N/partial x=y^2 e partial D/partial x=0, resultando em
fx=y^2t+2z
Para y, temos partial N/partial y=2xy e partial D/partial y=0, resultando em
fy=2xyt+2z

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem em z e t. Aqui o numerador é independente de z e t, mas o denominador depende. Temos partial N/partial z=0, partial D/partial z=2, partial N/partial t=0, partial D/partial t=1. Aplicando a regra do quociente:
fz=0cdot D - x y^2cdot 2(t+2z)^2=-2xy^2(t+2z)^2,
ft=0cdot D - x y^2cdot 1(t+2z)^2=-xy^2(t+2z)^2

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem a partir de fx. Como fx=y^2t+2z não depende de x, obtemos
fxx=0
Para as mistas, derivando em relação a y:
fxy=partialpartial yl(y^2t+2zr)=2yt+2z
Em relação a z:
fxz=partialpartial zl(y^2t+2zr)=-2y^2(t+2z)^2
Em relação a t:
fxt=-y^2(t+2z)^2

Passo 6

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem a partir de fy. Como fy=2xyt+2z, derivando em y:
fyy=2xt+2z
Em relação a z:
fyz=-4xy(t+2z)^2
Em relação a t:
fyt=-2xy(t+2z)^2

Passo 7

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem a partir de fz e ft. Para fz=-2xy^2(t+2z)^-2, derivando em z:
fzz=8xy^2(t+2z)^-3=8xy^2(t+2z)^3
Derivando em t:
fzt=4xy^2(t+2z)^-3=4xy^2(t+2z)^3
Para ft=-xy^2(t+2z)^-2, derivando em t:
ftt=2xy^2(t+2z)^-3=2xy^2(t+2z)^3

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
fx=y^2t+2z
fy=2xyt+2z
fz=-2xy^2(t+2z)^2
ft=-xy^2(t+2z)^2
As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx=0
fxy=2yt+2z
fxz=-2y^2(t+2z)^2
fxt=-y^2(t+2z)^2
fyy=2xt+2z
fyz=-4xy(t+2z)^2
fyt=-2xy(t+2z)^2
fzz=8xy^2(t+2z)^3
fzt=4xy^2(t+2z)^3
ftt=2xy^2(t+2z)^3

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