Determine as derivadas parciais de
e
ordem das funções:
Passo 1
Estamos diante da função
. O conteúdo envolvido é o de derivadas parciais de primeira e segunda ordem de funções de várias variáveis e usaremos a regra do quociente e a regra do produto para realizar as derivadas.
Passo 2
A regra do quociente para uma função
afirma que
Vamos aplicar essa fórmula para cada variável.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem em
e
. Para
, como o denominador não depende de
, temos
e
, resultando em
Para
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem em
e
. Aqui o numerador é independente de
e
, mas o denominador depende. Temos
,
,
,
. Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem a partir de
. Como
não depende de
, obtemos
Para as mistas, derivando em relação a
Em relação a
:
Em relação a
Passo 6
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem a partir de
. Como
, derivando em
:
Em relação a
Em relação a
:
Passo 7
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem a partir de
e
. Para
, derivando em
:
Derivando em
Para
, derivando em
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são: