Utilize os diferenciais para estimar a quantidade de alumínio em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos diferenciais para estimar o volume de alumínio (isto é, o volume de uma “casca” de espessura pequena) de uma lata cilíndrica fechada com diâmetro de 8 cm (logo raio de 4 cm) e altura de 12 cm, sabendo que a espessura do metal é de 0,04 cm.

Passo 2

A ideia de teoria é que, para um corpo de espessura pequena Δr, o volume do material pode ser aproximado por dV = S·dr, onde S é a área de superfície externa do corpo e dr = Δr.

Passo 3

A área de superfície de um cilindro fechado (lateral + tampas) é dada por:
S = 2pi r h + 2pi r^2
Substituindo r = 4 cm e h = 12 cm, temos:
S = 2picdot4cdot12 + 2picdot4^2 = 96pi + 32pi = 128pi cm^2.

Passo 4

Como a espessura é dr = 0,04 cm, usamos dV = S·dr:
dV = 128pi times 0,04 = 5,12pi cm^3

Passo 5

Para obter um valor numérico aproximado, fazemos 5,12·π ≈ 5,12·3,1416 ≈ 16,1 cm³.

Resposta

A quantidade de alumínio é aproximadamente 16,1 cm³.

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