Um termômetro é retirado de um ambiente cuja temperatura é de
e é colocado em um local com temperatura do ar de
. Após meio minuto, o termômetro indica
C. Qual é a leitura do termômetro em
? Qual é o tempo necessário para que o termômetro registre
?
Passo 1
O enunciado diz que um termômetro sai de uma temperatura inicial de 70 °C e é colocado em um ambiente a 10 °C. Depois de 0,5 min ele marca 50 °C. Precisamos achar a leitura em t = 1 min e o tempo até marcar 15 °C. O conteúdo usado aqui é a Lei do Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura com a diferença para o meio.
Passo 2
A Lei do Resfriamento de Newton descreve-se pela equação diferencial
Integrando ambos os lados (separando variáveis) e aplicando a condição inicial T(0)=T₀, obtemos a solução geral
Aqui temos T_a=10 °C (temperatura do ar) e T_0=70 °C (temperatura inicial do termômetro).
Passo 3
Para determinar a constante k, usamos a condição T(0,5)=50 °C:
Então
Passo 4
Agora calculamos T(1):
Passo 5
Para achar o tempo t em que T(t)=15 °C, resolvemos
Em segundos isso dá cerca de 3 min e 4 s.
Resposta
A leitura em t=1 min é aproximadamente 36,67 °C. O tempo necessário para o termômetro registrar 15 °C é cerca de 3,06 min (aproximadamente 3 min e 4 s).