Um termômetro é retirado de um ambiente cuja temperatura é de 70^circ C e é colocado em um local com temperatura do ar de 10^circ C. Após meio minuto, o termômetro indica 50^circ C. Qual é a leitura do termômetro em t=1 min ? Qual é o tempo necessário para que o termômetro registre 15^circ C ?

Passo 1

O enunciado diz que um termômetro sai de uma temperatura inicial de 70 °C e é colocado em um ambiente a 10 °C. Depois de 0,5 min ele marca 50 °C. Precisamos achar a leitura em t = 1 min e o tempo até marcar 15 °C. O conteúdo usado aqui é a Lei do Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura com a diferença para o meio.

Passo 2

A Lei do Resfriamento de Newton descreve-se pela equação diferencial
dTdt=-kl(T-Tar)
Integrando ambos os lados (separando variáveis) e aplicando a condição inicial T(0)=T₀, obtemos a solução geral
T(t)=Ta+(T0-Ta)e^-kt
Aqui temos T_a=10 °C (temperatura do ar) e T_0=70 °C (temperatura inicial do termômetro).

Passo 3

Para determinar a constante k, usamos a condição T(0,5)=50 °C:
50=10+60e^-0.5k
Então
60e^-0.5k=40Rightarrow e^-0.5k=23Rightarrow -0.5k=ln23Rightarrow k=2ln32

Passo 4

Agora calculamos T(1):
T(1)=10+60e^-kcdot1=10+60l(tfrac23r)^2=10+60cdottfrac49=10+tfrac2409approx36,67,^circC

Passo 5

Para achar o tempo t em que T(t)=15 °C, resolvemos
15=10+60e^-ktRightarrow 60e^-kt=5Rightarrow e^-kt=tfrac112Rightarrow t=ln12k=ln122ln(3/2)approx3,06,min
Em segundos isso dá cerca de 3 min e 4 s.

Resposta

A leitura em t=1 min é aproximadamente 36,67 °C. O tempo necessário para o termômetro registrar 15 °C é cerca de 3,06 min (aproximadamente 3 min e 4 s).

Exercícios relacionados