Determine as derivadas parciais de 1^a e 2^a ordem das funções:
u(x, t, theta)=x e^-t sen theta

Passo 1

Temos a função u(x,t,theta)=x e^-tsintheta. O conteúdo é derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial (cada variável isoladamente como variável, as outras como constantes) e as regras de derivação de exponencial, produto e funções trigonométricas.

Passo 2

Para as derivadas de primeira ordem, tratamos as demais variáveis como constantes e aplicamos regra do produto e da função composta. Assim: ux=partialpartial x(x e^-tsintheta)=e^-tsintheta, ut=partialpartial t(x e^-tsintheta)=xsinthetaddt(e^-t)=-x e^-tsintheta, utheta=partialpartialtheta(x e^-tsintheta)=x e^-tcostheta.

Passo 3

Nas segundas derivadas puras, derivamos cada derivada de primeira ordem em relação à mesma variável: uxx=partialpartial x(e^-tsintheta)=0 pois não há x, utt=partialpartial t(-x e^-tsintheta)= -xsinthetaddt(e^-t)=x e^-tsintheta, uthetatheta=partialpartialtheta(x e^-tcostheta)= -x e^-tsintheta.

Passo 4

Para as derivadas parciais mistas, derivamos cada derivada de primeira ordem em relação à outra variável de interesse: uxt=partialpartial t(ux)=partialpartial t(e^-tsintheta)=-e^-tsintheta, uxtheta=partialpartialtheta(ux)=partialpartialtheta(e^-tsintheta)=e^-tcostheta, uttheta=partialpartialtheta(ut)=partialpartialtheta(-x e^-tsintheta)=-x e^-tcostheta.

Resposta

Derivadas de 1ª ordem: ux=e^-tsintheta, ut=-x e^-tsintheta, utheta=x e^-tcostheta. Derivadas puras de 2ª ordem: uxx=0, utt=x e^-tsintheta, uthetatheta=-x e^-tsintheta. Derivadas mistas: uxt=-e^-tsintheta, uxtheta=e^-tcostheta, uttheta=-x e^-tcostheta.

Exercícios relacionados