Determine as derivadas parciais de
e
ordem das funções:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial (cada variável isoladamente como variável, as outras como constantes) e as regras de derivação de exponencial, produto e funções trigonométricas.
Passo 2
Para as derivadas de primeira ordem, tratamos as demais variáveis como constantes e aplicamos regra do produto e da função composta. Assim:
,
,
.
Passo 3
Nas segundas derivadas puras, derivamos cada derivada de primeira ordem em relação à mesma variável:
pois não há
,
,
.
Passo 4
Para as derivadas parciais mistas, derivamos cada derivada de primeira ordem em relação à outra variável de interesse:
,
,
.
Resposta
Derivadas de 1ª ordem:
,
,
. Derivadas puras de 2ª ordem:
,
,
. Derivadas mistas:
,
,
.