Determine as derivadas parciais:
e
não nulas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais da função $ p(V, T) = \frac{n R T}{V} $, onde $ V \neq 0 $ e $ n $ e $ R $ são constantes não nulas. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta usada para entender como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Quando temos uma função de duas ou mais variáveis, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos $ p $ como função de $ V $ e $ T $.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ p $ em relação a $ V $, ou seja, $ \frac{\partial p}{\partial V} $. Para isso, tratamos $ T $ como uma constante e derivamos $ p $ em relação a $ V $.
A função é:
Podemos reescrever como:
Agora, aplicamos a regra da potência para derivar em relação a $ V $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ p $ em relação a $ T $, ou seja, $ \frac{\partial p}{\partial T} $. Desta vez, tratamos $ V $ como uma constante e derivamos $ p $ em relação a $ T $.
A função é:
Aqui, $ \frac{n R}{V} $ é uma constante multiplicando $ T $. Então, a derivada em relação a $ T $ é simplesmente essa constante:
Resposta
As derivadas parciais da função $ p(V, T) = \frac{n R T}{V} $ são:
e