Seja f(x, y)=2 x^2+x y^2+y^2. Determine os pontos críticos de f e classifique-os, caso existam.

Passo 1

A questão pede os pontos críticos de f(x,y)=2x²+xy²+y² e sua classificação. O conteúdo aqui é derivadas parciais, sistema ∇f=0 para achar candidatos e Hessiano para classificar esses pontos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e montar o sistema ∇f=0. A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=4x+y^2
e em relação a y é
partial fpartial y=2y(x+1)
O sistema ∇f=0 vira:
4x+y^2=0, 2y(x+1)=0

Passo 3

Resolver o sistema de equações. Da segunda equação temos dois casos: y=0 ou x=-1.
  • Se y=0 então da primeira 4x+0=0 ⇒ x=0, gerando o ponto (0,0).
  • Se x=-1 então da primeira 4(-1)+y^2=0 ⇒ y^2=4 ⇒ y=±2, dando os pontos (-1,2) e (-1,-2).

Passo 4

Montar o Hessiano e expressar suas segundas derivadas:
H=fxx&fxyfyx&fyy =4&2y2y&2x+2
Para classificar cada ponto, calculamos o determinante D=det(H)=4(2x+2)-(2y)^2.

Passo 5

Avaliar o Hessiano em cada ponto e classificar:
  • Em (0,0): f_{xx}=4, f_{xy}=0, f_{yy}=2 ⇒ D=4·2−0=8>0 e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local.
  • Em (-1,2): f_{xx}=4, f_{xy}=4, f_{yy}=0 ⇒ D=4·0−4²=−16<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em (-1,-2): f_{xx}=4, f_{xy}=−4, f_{yy}=0 ⇒ D=4·0−(−4)²=−16<0 ⇒ ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), (-1,2) e (-1,-2). O ponto (0,0) é um mínimo local e os pontos (-1,2) e (-1,-2) são pontos de sela.

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