Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
e) (-1)^n n^31+2 n^3n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência an = (-1)^n dfracn^31+2n^3. O conteúdo envolve limites de sequências racionais de alta ordem e comportamento de sinais alternados para decidir se existe um único valor limite.

Passo 2

Para descobrir o comportamento de an, primeiro analisamos o valor absoluto (ou a parte racional sem o fator alternado): definimos bn = dfracn^31+2n^3. Logo, temos
bn = n^31+2n^3 = 12 + tfrac1n^3
limntoinfty bn = 12

Passo 3

Agora voltamos a an = (-1)^n bn. Como bn tende a 1/2 e (-1)^n alterna entre +1 e -1, as duas subsequências
  • para n par: a2k = (+1),b2k to +tfrac12,
  • para n ímpar: a2k+1 = (-1),b2k+1 to -tfrac12,
    têm limites diferentes. Portanto, não existe um único valor limite para an.

Resposta

A sequência diverge.

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