Resolva as inequaçöes abaixo, em R: (3pt)
y^2-32 x-4 <=-1

Passo 1

Temos a inequação racional
y^2-32x-4<= -1
o conteúdo envolve resolução de inequação de função racional e vamos precisar manipular expressões algébricas e estudar sinais.

Passo 2

Primeiro vamos trazer tudo para um único racional somando 1 dos dois lados, ficando
y^2-32x-4+1<=0e, com denominador comum,
y^2-3 + 2(x-2)2(x-2)<=0ou seja
2x + y^2 -72(x-2)<=0

Passo 3

Agora identificamos os pontos críticos da razão: o numerador zera quando
2x + y^2 -7 = 0 implies x = 7 - y^22,e o denominador zera quando
2(x-2)=0 implies x=2

Passo 4

O próximo passo é comparar essas raízes para montar o diagrama de sinais. Isso depende de comparar
7 - y^22com 2, ou seja, comparar y^2 com 3.

Passo 5

Caso y^2<3 (isto é, |y|), temos
7 - y^22 > 2
Nesse cenário o sinal da fração é negativo (ou zero) no intervalo entre 2 e (7 - y^2)/2. Logo a solução é
(2,,7 - y^22]

Passo 6

Caso y^2>3 (isto é, |y|>raiz3), ocorre
7 - y^22 < 2
E então a fração é negativa (ou zero) entre (7 - y^2)/2 e 2, dando solução
l[7 - y^22,,2r)

Passo 7

Quando y^2=3, o numerador e denominador anulam simultaneamente apenas em x=2, e a inequação não admite soluções.

Passo 8

Integrando tudo, temos as soluções condicionais abaixo.

Resposta

Para |y|<√3: x∈(2, (7−y²)/2]; para |y|>√3: x∈[(7−y²)/2, 2); para |y|=√3: sem solução.

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