Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=e^yx+y^2
O conteúdo envolvido é derivação parcial, usando as regras de quociente (ou produto e cadeia) e a derivada de e^y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante, de modo que e^y é constante e basta derivar (x+y^2)^-1. Assim, pela regra da cadeia,
partial fpartial x = e^y;ddxl((x+y^2)^-1r) = e^ycdot(-1),(x+y^2)^-2cdot 1 = -e^y(x+y^2)^2

Passo 3

Para calcular partial fpartial y escrevemos
f(x,y)=e^y,(x+y^2)^-1
e aplicamos a regra do produto e, em seguida, a regra da cadeia em (x+y^2)^-1. Temos
partial fpartial y = ddyl(e^yr),(x+y^2)^-1 + e^y,ddyl((x+y^2)^-1r)
Como ddy(e^y)=e^y e
ddy(x+y^2)^-1=-1,(x+y^2)^-2cdot 2y, segue
partial fpartial y = e^y,(x+y^2)^-1 -2y,e^y,(x+y^2)^-2 = e^yx+y^2 - 2y,e^y(x+y^2)^2
Podemos combinar em um só quociente:
partial fpartial y = e^yl((x+y^2) - 2yr)(x+y^2)^2

Resposta

boxed partial fpartial x = -e^y(x+y^2)^2, partial fpartial y = e^yx+y^2 - 2y,e^y(x+y^2)^2 = e^yl(x+y^2-2yr)(x+y^2)^2

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