Dizemos que (an) é uma sequência de Cauchy quando para todo epsilon>0 existe n0 in N tal que
m, n>n0 Rightarrow|am-an|<epsilon
(a) Mostre que toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Mostre que se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente então a sequência é convergente.
(c) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) Conclua que uma sequência é convergente se, e somente se, a sequência é de Cauchy.

Passo 1

O enunciado trabalha o conceito de sequência de Cauchy em R, definido por
m,n>n0 Rightarrow |am-an|<epsilon
Queremos mostrar:
  1. toda sequência convergente é de Cauchy;
  2. se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente, então ela converge;
  3. toda sequência de Cauchy é limitada;
  4. a conclusão de que em R (espaço completo) sequência converge se, e somente se, é de Cauchy.

Passo 2

Prova de (a): seja (an) convergente, digamos limntoinftyan=a. Dado epsilon>0, existe N tal que, para todo n>N,
|an-a|<epsilon2
Então, se m,n>N, pela desigualdade triangular,
|am-an|<= |am-a|+|an-a|<epsilon2+epsilon2=epsilon
Logo (an) é Cauchy.

Passo 3

Prova de (b): suponha (an) Cauchy e que existe subsequência (ank) com limktoinftyank=L. Dado epsilon>0, escolha K tal que para todo k>K valha
|ank-L|<epsilon2,
e escolha N tal que para todo m,n>N
|am-an|<epsilon2
Agora tome n>maxN,nK. Então existe k>K com nk>N e usando novamente a desigualdade triangular,
|an-L|<= |an-ank|+|ank-L|<epsilon2+epsilon2=epsilon
Isso mostra limntoinftyan=L.

Passo 4

Prova de (c): seja (an) Cauchy. Então existe N tal que para todo n>N,
|an-aN|<1
Logo, para n>N, tem |an|<= |aN|+1. Para os índices 1,2,dots,N há apenas finitamente muitos termos, cujo máximo absoluto existe. Assim (an) é limitada por
M=maxl|a1|,dots,|aN|,|aN|+1r

Passo 5

Prova de (d): já vimos em (a) que convergente implica Cauchy. Em (c) mostramos que toda sequência de Cauchy é limitada. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, uma sequência limitada em R tem subsequência convergente; então, por (b), toda sequência de Cauchy converge. Concluímos que em R sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.

Resposta

(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente então ela converge.
(c) Toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) Logo, em R uma sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.

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