Dizemos que
é uma sequência de Cauchy quando para todo
existe
tal que
(a) Mostre que toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Mostre que se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente então a sequência é convergente.
(c) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) Conclua que uma sequência é convergente se, e somente se, a sequência é de Cauchy.
(b) Mostre que se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente então a sequência é convergente.
(c) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) Conclua que uma sequência é convergente se, e somente se, a sequência é de Cauchy.
Passo 1
O enunciado trabalha o conceito de sequência de Cauchy em
, definido por
Queremos mostrar:
- toda sequência convergente é de Cauchy;
- se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente, então ela converge;
- toda sequência de Cauchy é limitada;
- a conclusão de que em
(espaço completo) sequência converge se, e somente se, é de Cauchy.
Passo 2
Prova de (a): seja
convergente, digamos
. Dado
, existe
tal que, para todo
,
Então, se
, pela desigualdade triangular,
Logo
é Cauchy.
Passo 3
Prova de (b): suponha
Cauchy e que existe subsequência
com
. Dado
, escolha
tal que para todo
valha
e escolha
tal que para todo
Agora tome
. Então existe
com
e usando novamente a desigualdade triangular,
Isso mostra
.
Passo 4
Prova de (c): seja
Cauchy. Então existe
tal que para todo
,
Logo, para
, tem
. Para os índices
há apenas finitamente muitos termos, cujo máximo absoluto existe. Assim
é limitada por
Passo 5
Prova de (d): já vimos em (a) que convergente implica Cauchy. Em (c) mostramos que toda sequência de Cauchy é limitada. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, uma sequência limitada em
tem subsequência convergente; então, por (b), toda sequência de Cauchy converge. Concluímos que em
sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Resposta
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente então ela converge.
(c) Toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) Logo, em uma sequência é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
(b) Se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente então ela converge.
(c) Toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) Logo, em