1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função f(x, y)=\frac{y^{2}-y}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{y^{2}-y}{x^{2}+x}
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e a y. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra do quociente.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e escrevemos
N(y)=y^{2}-y, \quad D(x)=x^{2}+x, \quad D'(x)=2x+1.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{0\cdot D(x) - N(y)\,D'(x)}{D(x)^{2}} = -\frac{(y^{2}-y)\,(2x+1)}{(x^{2}+x)^{2}}
.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante. O numerador N(y)=y^{2}-y tem derivada 2y-1 e o denominador é constante, logo
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y-1}{x^{2}+x}
.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\frac{(y^{2}-y)\,(2x+1)}{(x^{2}+x)^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{2y-1}{x^{2}+x}.

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