- No exercício 6, encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
e mostrar que as derivadas mistas satisfazem
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e o Teorema de Schwarz (ou Clairaut) para trocar a ordem de derivação. Vamos tratar, em cada derivada, uma variável como constante e aplicar a regra do produto e da cadeia quando necessário.
Passo 2
Primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para tratamos
como constante:
– A derivada de em relação a
é simplesmente
.
– A derivada de em relação a
é
Para
– A derivada de
– A derivada de
Logo,
Para
tratamos
como constante:
– A derivada de em relação a
é
– A derivada de
– A derivada de
em relação a
é
.
Portanto,
Portanto,
Passo 3
Agora as derivadas parciais de segunda ordem a partir de
.
Para :
é constante em relação a
, e
Para
Então
Para
:
Logo
Passo 4
Agora as derivadas de segunda ordem a partir de
.
Para :
Para
e
é constante em relação a
. Então
Para
:
Portanto
Passo 5
Comparando as mistas, vemos que
logo
confirmando o Teorema de Schwarz.