Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=raizx y+x^y+log x y

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=raizx,y+x^y+logxy
e pede as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y.
Vamos usar:
– Regra da cadeia para raizx,y=(x,y)^1/2.
– Derivada de x^y em que y é tratado como constante: partial x^y/partial x=y,x^y-1.
– Mudança de base para logxy=ln(y)ln(x) e sua derivada por quociente.

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x.
Dividimos em três termos:
  1. f1(x,y)=(x,y)^1/2.
    partial f1partial x =12(x,y)^-1/2cdot y =y2raizx,y
  2. f2(x,y)=x^y.
    partial f2partial x =y,x^y-1
  3. f3(x,y)=logxy=ln(y)ln(x).
    Tratando y constante e usando derivada de quociente,
    partial f3partial x =-ln(y)(ln(x))^2,ddx[ln(x)] =-ln(y)(ln(x))^2,1x =-ln(y)x,(ln(x))^2
Somando os três termos,
partial fpartial x =y2raizx,y+y,x^y-1-ln(y)x,(ln(x))^2

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y.
De novo, separando em três termos:
  1. f1(x,y)=(x,y)^1/2.
    partial f1partial y =12(x,y)^-1/2cdot x =x2raizx,y
  2. f2(x,y)=x^y.
    partial f2partial y =x^yln(x)
  3. f3(x,y)=ln(y)ln(x).
    Agora ln(x) é constante e
    partial f3partial y =1ln(x)cdotddy[ln(y)] =1ln(x)cdot1y =1y,ln(x)
Somando,
partial fpartial y =x2raizx,y+x^yln(x)+1y,ln(x)

Resposta

partial fpartial x =y2raizx,y+y,x^y-1-ln(y)x,(ln(x))^2
partial fpartial y =x2raizx,y+x^yln(x)+1y,ln(x)

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