Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=tg(3 x y^2)+cotg(5 x^3 y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=tanl(3xy^2r)+cotl(5x^3yr)
O conteúdo aqui é derivada parcial e regra da cadeia: para cada variável tratamos a outra como constante, e usamos que
ddutan(u)=sec^2(u) e dducot(u)=-csc^2(u).

Passo 2

Para partial fpartial x definimos
u=3xy^2 e v=5x^3y.
Então
partialpartial xtan(u) =sec^2(u),partial upartial x =sec^2l(3xy^2r)cdot3y^2
e
partialpartial xcot(v) =-csc^2(v),partial vpartial x =-csc^2l(5x^3yr)cdot15x^2y
Somando os dois termos, obtemos
partial fpartial x =3y^2sec^2l(3xy^2r) -15x^2y,csc^2l(5x^3yr)

Passo 3

Para partial fpartial y usamos as mesmas definições de u e v, mas agora computamos
partial upartial y=6xy e partial vpartial y=5x^3. Logo,
partialpartial ytan(u) =sec^2l(3xy^2r)cdot6xy,
partialpartial ycot(v) =-csc^2l(5x^3yr)cdot5x^3,
e portanto
partial fpartial y =6xy,sec^2l(3xy^2r) -5x^3,csc^2l(5x^3yr)

Resposta

partial fpartial x =3y^2sec^2l(3xy^2r) -15x^2y,csc^2l(5x^3yr),
partial fpartial y =6xy,sec^2l(3xy^2r) -5x^3,csc^2l(5x^3yr)

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