Determine se as seguintes integrais impróprias convergem:
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos se a integral
converge. O conteúdo envolve integrais impróprias com limite de integração no infinito. Para resolver, podemos usar o critério de convergência para integrais do tipo e também calcular explicitamente a antiderivada.
converge. O conteúdo envolve integrais impróprias com limite de integração no infinito. Para resolver, podemos usar o critério de convergência para integrais do tipo
Passo 2
Como o limite superior é infinito, escrevemos
Observamos que a função
é positiva em
e decai como
com
. Pelo critério de p-série, essa integral deve convergir.
Passo 3
Para confirmar, calculamos a antiderivada de
. Usando
para
, com
, temos
Passo 4
Avaliamo-la de
a
e depois fazemos
:
Ao levar
, o termo
tende a zero, ficando
.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.