Determine se as seguintes integrais impróprias convergem:
integral5^infty x^-3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos se a integral
integral5^inftyx^-tfrac32,dx
converge. O conteúdo envolve integrais impróprias com limite de integração no infinito. Para resolver, podemos usar o critério de convergência para integrais do tipo integrala^infty1/x^p,dx e também calcular explicitamente a antiderivada.

Passo 2

Como o limite superior é infinito, escrevemos
integral5^inftyx^-tfrac32,dx =limAtoinftyintegral5^Ax^-tfrac32,dx
Observamos que a função x^-tfrac32 é positiva em [5,infty) e decai como 1/x^p com p=tfrac32>1. Pelo critério de p-série, essa integral deve convergir.

Passo 3

Para confirmar, calculamos a antiderivada de x^-tfrac32. Usando integral x^ndx = x^n+1/(n+1) para nneq-1, com n=-tfrac32, temos
integral x^-tfrac32,dx =x^-tfrac32+1-tfrac32+1 =x^-tfrac12-tfrac12 =-2,x^-tfrac12

Passo 4

Avaliamo-la de 5 a A e depois fazemos Atoinfty:
integral5^Ax^-tfrac32,dx =l[-2,x^-tfrac12r]5^A =-2A^-tfrac12-l(-2cdot5^-tfrac12r) =-2raizA+2raiz5
Ao levar Atoinfty, o termo -2/raizA tende a zero, ficando
2raiz5.

Resposta

A integral converge e seu valor é 2raiz5.

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