1. Enuncie cada regra da derivação tanto em símbolos quanto em palavras.
    (a) A Regra da Potência
    (b) A Regra da Multiplicação por Constante
    (c) A Regra da Soma
    (d) A Regra da Diferença
    (e) A Regra do Produto
    (f) A Regra do Quociente
    (g) A Regra da Cadeia

Passo 1

O enunciado pede para apresentar cada regra de derivação, tanto em forma simbólica quanto em forma de frase, cobrindo os seguintes tópicos: potência, multiplicação por constante, soma, diferença, produto, quociente e cadeia. Vamos lembrar a definição de derivada e usar as propriedades básicas de derivação para cada caso.

Passo 2

Para a Regra da Potência, usamos a função f(x)=x^n com ninR. Em símbolos:
ddxl[x^nr] = n,x^n-1
Em palavras: “a derivada de x elevado a n é n vezes x elevado a n-1”.

Passo 3

Para a Regra da Multiplicação por Constante, consideramos f(x)=ccdot g(x) com c constante. Em símbolos:
ddxl[c,g(x)r] = c,ddxl[g(x)r]
Em palavras: “a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função”.

Passo 4

Para a Regra da Soma, tomamos f(x)=u(x)+v(x). Em símbolos:
ddxl[u(x)+v(x)r] = u'(x) + v'(x)
Em palavras: “a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas delas”.

Passo 5

Para a Regra da Diferença, tomamos f(x)=u(x)-v(x). Em símbolos:
ddxl[u(x)-v(x)r] = u'(x) - v'(x)
Em palavras: “a derivada da diferença de duas funções é a diferença das derivadas delas”.

Passo 6

Para a Regra do Produto, consideramos f(x)=u(x),v(x). Em símbolos:
ddxl[u(x),v(x)r] = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Em palavras: “a derivada do produto de duas funções é a primeira função derivada vezes a segunda não derivada, mais a primeira não derivada vezes a segunda derivada”.

Passo 7

Para a Regra do Quociente, tomamos f(x)=u(x)v(x) com v(x)neq0. Em símbolos:
ddx!gl[u(x)v(x)gr] = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Em palavras: “a derivada do quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado”.

Passo 8

Para a Regra da Cadeia, aplicamos a uma composição f(x)=hl(g(x)r). Em símbolos:
ddxl[h(g(x))r] = h'l(g(x)r);cdot;g'(x)
Em palavras: “a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna”.

Resposta

(a) Em símbolos:
ddxl[x^nr] = n,x^n-1
Em palavras: a derivada de x^n é n vezes x elevado a n-1.
(b) Em símbolos:
ddxl[c,g(x)r] = c,ddxl[g(x)r]
Em palavras: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
(c) Em símbolos:
ddxl[u(x)+v(x)r] = u'(x) + v'(x)
Em palavras: a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas.
(d) Em símbolos:
ddxl[u(x)-v(x)r] = u'(x) - v'(x)
Em palavras: a derivada da diferença de duas funções é a diferença das derivadas.
(e) Em símbolos:
ddxl[u(x),v(x)r] = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Em palavras: a derivada do produto é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
(f) Em símbolos:
ddx!gl[u(x)v(x)gr] = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Em palavras: a derivada do quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador.
(g) Em símbolos:
ddxl[h(g(x))r] = h'l(g(x)r);cdot;g'(x)
Em palavras: a derivada de uma composição é a derivada da função exterior avaliada na interior vezes a derivada da função interior.

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