Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=6 y e^x+x ln y+5^x log 2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=6,y,e^x+x,ln y+5^x,log2y
Aqui vamos usar as definições: ao derivar em relação a x, tratamos y como constante; ao derivar em relação a y, tratamos x como constante. Precisamos também das regras
ddxe^x=e^x,
ddxa^x=a^xln a,
ddyln y=1y,
ddylog2y=1yln2.

Passo 2

Vamos calcular partial fpartial x termo a termo:
  • Para 6,y,e^x, como y é constante,
partialpartial xl(6,y,e^xr)=6,y,e^x
  • Para x,ln y, como ln y é constante em x,
partialpartial xl(x,ln yr)=ln y
  • Para 5^x,log2y, log2y é constante em x e ddx5^x=5^xln5,
partialpartial xl(5^x,log2yr) =5^xln5;log2y
Somando tudo,
partial fpartial x(x,y) =6,y,e^x+ln y+5^xln5;log2y

Passo 3

Agora partial fpartial y termo a termo:
  • Para 6,y,e^x, e^x é constante em y,
partialpartial yl(6,y,e^xr) =6,e^x
  • Para x,ln y, x é constante e ddyln y=1y,
partialpartial yl(x,ln yr) =x;1y=xy
  • Para 5^x,log2y, 5^x é constante e ddylog2y=1yln2,
partialpartial yl(5^x,log2yr) =5^x;1yln2 =5^xyln2
Somando tudo,
partial fpartial y(x,y) =6,e^x+xy+5^xyln2

Resposta

partial fpartial x(x,y) =6,y,e^x+ln y+5^xln5;log2y,
partial fpartial y(x,y) =6,e^x+xy+5^xyln2

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