(Sequência de Fibonacci e número áureo)
A sequência (an) definida por
a1=a2=1 e an+2=an+an+1
é chamada Sequência de Fibonacci.
O número áureo phi é definido como a raiz positiva da equação x=1x-1, ou seja,
phi=1+raiz52
O objetivo desse exercício é verificar que a sequência de Fibonacci ‘tende’ a ser uma P.G. cuja razão é o número áureo, mais precisamente, definindo (xn) por xn=an+1an tem-se que xn phi. Mostre que:
(a) phi=1+1phi.
(b) xn+1=1+1xn, forall n in N e xn >= 0, forall n in N.
(c) |xn+2-xn+1| <= 12|xn+1-xn|, forall n in N e conclua que
|xn+2-xn+1| <= 12^n-2|x2-x1|, forall n in N
(d) (xn) é uma sequência de Cauchy.
(e) xn phi.

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci
a1=a2=1, an+2=an+an+1,
o número áureo
phi=1+raiz52,
e a razão
xn=an+1an
Queremos mostrar passo a passo que
(a) phi=1+tfrac1phi.
(b) ;xn+1=1+tfrac1xn e xn>=0.
(c) lvert xn+2-xn+1rvert<=tfrac12lvert xn+1-xnrvert e daí
lvert xn+2-xn+1rvert<=tfrac12^,n-2lvert x2-x1rvert.
(d) (xn) é de Cauchy.
(e) xntophi.

Passo 2

(a) Partimos da equação que define phi:
phi=1phi-1
Multiplicando ambos os lados por phi-1
phi(phi-1)=1 Longrightarrow phi^2-phi-1=0
As raízes são tfrac1pmraiz52, e a positiva é phi. Reescrevendo phi^2-phi-1=0 isolamos phi^2=phi+1 e, dividindo por phineq0, obtém-se
phi=1+1phi

Passo 3

(b) Da definição xn=an+1/an segue
xn+1=an+2an+1 =an+an+1an+1 =1+anan+1 =1+1xn
Como an>0 para todo n, temos xn>=0.

Passo 4

(c) Usemos a recorrência para as diferenças:
xn+2-xn+1 =l(1+1xn+1r) -l(1+1xnr) =1xn+1-1xn =xn-xn+1xn,xn+1
Para n>=2, nota-se que xn>=1 e xn+1>=2 (de x2=1 e x3=2 em diante), logo
lvert xn+2-xn+1rvert =lvert xn+1-xnrvertxn,xn+1 <=12,lvert xn+1-xnrvert
Aplicando esse passo repetidamente (indução) obtém-se
lvert xn+2-xn+1rvert <=12^,n-2, lvert x2-x1rvert

Passo 5

(d) Para mostrar que (xn) é Cauchy, basta ver que para m>n:
lvert xm-xnrvert <=sumk=n^m-1lvert xk+1-xkrvert <=lvert x2-x1rvert sumk=n^infty12^,k-2 =lvert x2-x1rvert12^,n-211-tfrac12,
que tende a 0 quando ntoinfty.

Passo 6

(e) Como R é completo, (xn) converge a um limite L. Tomando limite em
xn+1=1+1xn
vem
L=1+1L,
cuja única solução positiva é L=phi. Portanto
xn;longrightarrow;phi

Resposta

(a) phi=1+tfrac1phi.
(b) xn+1=1+tfrac1xn e xn>=0.
(c) lvert xn+2-xn+1rvert<=tfrac12lvert xn+1-xnrvert e
lvert xn+2-xn+1rvert<=tfrac12^,n-2lvert x2-x1rvert.
(d) (xn) é de Cauchy.
(e) xntophi.

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