(Sequência de Fibonacci e número áureo)
A sequência
definida por
é chamada Sequência de Fibonacci.
O número áureo
é definido como a raiz positiva da equação
, ou seja,
O objetivo desse exercício é verificar que a sequência de Fibonacci ‘tende’ a ser uma P.G. cuja razão é o número áureo, mais precisamente, definindo
por
tem-se que
. Mostre que:
(a)
.
(b)
e
.
(c)
e conclua que
(d)
é uma sequência de Cauchy.
(e)
.
O número áureo
(a)
(b)
(c)
(e)
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci
o número áureo
e a razão
Queremos mostrar passo a passo que
(a) .
(b) e
.
(c) e daí
.
(d) é de Cauchy.
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
(a) Partimos da equação que define
:
Multiplicando ambos os lados por
dá
As raízes são
, e a positiva é
. Reescrevendo
isolamos
e, dividindo por
, obtém-se
Passo 3
(b) Da definição
segue
Como
para todo
, temos
.
Passo 4
(c) Usemos a recorrência para as diferenças:
Para
, nota-se que
e
(de
e
em diante), logo
Aplicando esse passo repetidamente (indução) obtém-se
Passo 5
(d) Para mostrar que
é Cauchy, basta ver que para
:
que tende a
quando
.
Passo 6
(e) Como
é completo,
converge a um limite
. Tomando limite em
vem
cuja única solução positiva é
. Portanto
Resposta
(a)
.
(b) e
.
(c) e
.
(d) é de Cauchy.
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)