Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=x^{2} y-3 y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=x^{2}y-3y^{4} e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis: \displaystyle x e \displaystyle y.
  • Precisamos encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Não há restrições adicionais no enunciado (domínio não informado, mas não é necessário aqui).

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar devagar e de forma prática.
  • A derivada parcial de \displaystyle f em relação a \displaystyle x, denotada \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de \displaystyle f quando só alteramos \displaystyle x e mantemos \displaystyle y fixo. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • De forma análoga, a derivada parcial em relação a \displaystyle y é a taxa de variação quando só \displaystyle y varia:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, usamos regras de derivação, tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadinhas):
  • Regra do fator constante: se uma expressão é um produto de uma função dependente da variável que diferenciamos por uma quantidade que é constante em relação a essa variável, a constante sai da derivada. Ex.: ao diferenciar em relação a \displaystyle x, \displaystyle y é tratado como constante.
  • Regra do poder (power rule): para uma única variável, \displaystyle \frac{d}{du}(u^{n})=n\,u^{n-1}. Ex.: \displaystyle \frac{d}{dx}(x^{2})=2x; \displaystyle \frac{d}{dy}(y^{4})=4y^{3}.
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas; derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
A função é \displaystyle f(x,y)=x^{2}y-3y^{4}. Ao diferenciar em relação a \displaystyle x tratamos \displaystyle y como constante.
  • Derivada de \displaystyle x^{2}y em relação a \displaystyle x: como \displaystyle y é constante, sai como fator: \displaystyle y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot 2x=2xy.
  • Derivada de \displaystyle -3y^{4} em relação a \displaystyle x: é zero, porque não depende de \displaystyle x (trata-se como constante).
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora diferenciamos em relação a \displaystyle y, tratando \displaystyle x como constante.
  • Derivada de \displaystyle x^{2}y em relação a \displaystyle y: \displaystyle x^{2} é constante, então \displaystyle x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=x^{2}\cdot 1=x^{2}.
  • Derivada de \displaystyle -3y^{4} em relação a \displaystyle y: aplicação da regra do poder e do fator constante: \displaystyle -3\cdot\frac{d}{dy}(y^{4})=-3\cdot 4y^{3}=-12y^{3}.
    Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}-12y^{3}.

Passo 6

Pequena verificação numérica para fixar (opcional, só pra ver que faz sentido): em \displaystyle (x,y)=(1,1),
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot 1\cdot 1=2,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=1^{2}-12\cdot 1^{3}=1-12=-11.
Isso mostra como usar as expressões na prática.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2xy
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}-12y^{3}

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