Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de duas variáveis:
e . - Precisamos encontrar
e . - Não há restrições adicionais no enunciado (domínio não informado, mas não é necessário aqui).
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar devagar e de forma prática.
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando só alteramos e mantemos fixo. Formalmente:
- De forma análoga, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando só varia:
Na prática, usamos regras de derivação, tratando a variável não diferenciada como constante.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadinhas):
- Regra do fator constante: se uma expressão é um produto de uma função dependente da variável que diferenciamos por uma quantidade que é constante em relação a essa variável, a constante sai da derivada. Ex.: ao diferenciar em relação a
, é tratado como constante. - Regra do poder (power rule): para uma única variável,
. Ex.: ; . - Derivada de uma soma é a soma das derivadas; derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Cálculo de
.
A função é . Ao diferenciar em relação a
tratamos
como constante.
A função é
- Derivada de
em relação a : como é constante, sai como fator: . - Derivada de
em relação a : é zero, porque não depende de (trata-se como constante).
Portanto,
Passo 5
Cálculo de
.
Agora diferenciamos em relação a , tratando
como constante.
Agora diferenciamos em relação a
- Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : aplicação da regra do poder e do fator constante: .
Somando,
Passo 6
Pequena verificação numérica para fixar (opcional, só pra ver que faz sentido): em
,
Isso mostra como usar as expressões na prática.