Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função abaixo:
Informações fornecidas:
Pergunta a responder: calcular
e
.
Passo 2
O que significa “derivada parcial”? Vou explicar devagar e com calma. A derivada parcial de
em relação a
, escrita
, é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica “congelado” (constante). Analogamente,
mede a variação quando só
varia e
fica constante. Na prática, para calcular uma derivada parcial:
- ao derivar em relação a
, trato como uma constante; - ao derivar em relação a
, trato como uma constante.
Passo 3
Regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
- Regra do expoente (power rule): se
com um número inteiro, então
Aqui
é a variável que estamos diferenciando.
- Regra da constante multiplicativa: se
é constante e é função de , então
Ou seja, pode puxar constantes para fora da derivada.
- Se temos um produto onde uma das partes é constante em relação à variável diferenciada, simplesmente tratamos essa parte como constante. Por exemplo, ao derivar em relação a
a expressão , como não depende de , ele é constante.
Vou usar essas regras termo a termo na função.
Passo 4
Calcular
termo a termo:
A função é
.
- Para o termo
: aplicando a regra do expoente com e ,
- Para o termo
: ao derivar em relação a , é constante. Pela regra da constante multiplicativa,
E
, então
Somando os dois resultados:
Passo 5
Calcular
termo a termo:
A função é
.
- Para o termo
: ele não depende de , então ao derivar em relação a obtemos zero:
- Para o termo
: ao derivar em relação a , é constante. Usamos a constante multiplicativa com e a regra do expoente para :
Portanto
Somando:
Passo 6
Checagem rápida e interpretação:
significa que, mantendo
fixo, a variação de
com
tem contribuição de
(vinda de
) e de
(vinda do termo misto). Já
mostra que, mantendo
fixo, a variação de
com
cresce proporcional a
e ao quadrado de
.