Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=x^{4}+5 x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função abaixo:
f(x,y)=x^{4}+5xy^{3}.
Informações fornecidas:
\text{função }f(x,y)=x^{4}+5xy^{3}.çã
Pergunta a responder: calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que significa “derivada parcial”? Vou explicar devagar e com calma. A derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica “congelado” (constante). Analogamente, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação quando só y varia e x fica constante. Na prática, para calcular uma derivada parcial:
  • ao derivar em relação a x, trato y como uma constante;
  • ao derivar em relação a y, trato x como uma constante.

Passo 3

Regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
  1. Regra do expoente (power rule): se g(t)=t^{n} com n um número inteiro, então
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
Aqui t é a variável que estamos diferenciando.
  1. Regra da constante multiplicativa: se c é constante e h(t) é função de t, então
\frac{d}{dt}\big(c\cdot h(t)\big)=c\cdot \frac{d}{dt}h(t).
Ou seja, pode puxar constantes para fora da derivada.
  1. Se temos um produto onde uma das partes é constante em relação à variável diferenciada, simplesmente tratamos essa parte como constante. Por exemplo, ao derivar em relação a x a expressão x\cdot y^{3}, como y^{3} não depende de x, ele é constante.
Vou usar essas regras termo a termo na função.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} termo a termo:
A função é f(x,y)=x^{4}+5x y^{3}.
  • Para o termo \,x^{4}: aplicando a regra do expoente com t=x e n=4,
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.
  • Para o termo \,5x y^{3}: ao derivar em relação a x, y^{3} é constante. Pela regra da constante multiplicativa,
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x y^{3}\big)=5y^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x).
E \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x)=1, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x y^{3}\big)=5y^{3}.
Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+5y^{3}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} termo a termo:
A função é f(x,y)=x^{4}+5x y^{3}.
  • Para o termo \,x^{4}: ele não depende de y, então ao derivar em relação a y obtemos zero:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}\big)=0.
  • Para o termo \,5x y^{3}: ao derivar em relação a y, x é constante. Usamos a constante multiplicativa com c=5x e a regra do expoente para y^{3}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x y^{3}\big)=5x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big)=5x\cdot 3y^{2}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x y^{3}\big)=15xy^{2}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=0+15xy^{2}=15xy^{2}.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+5y^{3} significa que, mantendo y fixo, a variação de f com x tem contribuição de 4x^{3} (vinda de x^{4}) e de 5y^{3} (vinda do termo misto). Já \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=15xy^{2} mostra que, mantendo x fixo, a variação de f com y cresce proporcional a x e ao quadrado de y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+5y^{3}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=15xy^{2}

Exercícios relacionados