Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y)=(3 x^2+5 y)^4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y) = (3x^2 + 5y)^4. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar identificar a função interna g(x,y) = 3x^2 + 5y e aplicar partialpartial x[g(x,y)^4] = 4,g(x,y)^3,partial gpartial x (e de forma análoga para y).

Passo 2

Vamos calcular partial fpartial x. Primeiro note que g(x,y)=3x^2+5y, então
partial gpartial x = 6x
Aplicando a regra da cadeia temos:
partial fpartial x = 4,(3x^2+5y)^3 cdot 6x = 24x,(3x^2+5y)^3

Passo 3

Agora vamos calcular partial fpartial y. Temos ainda g(x,y)=3x^2+5y, logo
partial gpartial y = 5
Aplicando a regra da cadeia para y:
partial fpartial y = 4,(3x^2+5y)^3 cdot 5 = 20,(3x^2+5y)^3

Resposta

partial fpartial x = 24x,(3x^2+5y)^3 e partial fpartial y = 20,(3x^2+5y)^3.

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