A região R é delimitada por y=x^3 / 2, y=1, x=1 e x=3. Considere a revolução dessa região em torno do eixo y. Determine o volume da figura de revolução produzida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região chamada R, que está delimitada pelas curvas $ y = x^{3/2} $, $ y = 1 $, $ x = 1 $ e $ x = 3 $. A tarefa é descobrir qual é o volume que essa região vai formar quando a gente gira ela em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos cilindros ou discos, que ajuda a calcular volumes de figuras obtidas por rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região R. A curva $ y = x^{3/2} $ é uma função que cresce conforme x aumenta. As linhas $ x = 1 $ e $ x = 3 $ são limites verticais, e $ y = 1 $ é um limite horizontal. Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que vamos girar.

Passo 3

Como queremos girar a região em torno do eixo y, o método dos cilindros será muito útil aqui. Esse método consiste em imaginar a região dividida em centenas de cilindros bem fininhos verticais. Cada cilindro tem um raio igual à distância do eixo y e uma altura igual à diferença das funções que definem a região.

Passo 4

Vamos identificar as funções que definem a altura dos nossos cilindros. A altura de cada cilindro será a diferença entre $ y = 1 $ e $ y = x^{3/2} $, ou seja, $ 1 - x^{3/2} $. O raio de cada cilindro é simplesmente o valor de x, já que estamos girando em torno do eixo y.

Passo 5

A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
onde $ h(x) $ é a altura do cilindro e $ a $ e $ b $ são os limites de integração. No nosso caso, $ h(x) = 1 - x^{3/2} $, $ a = 1 $ e $ b = 3 $.

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
V = 2pi integral1^3 x cdot (1 - x^3/2) , dx
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
V = 2pi integral1^3 (x - x^5/2) , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral (x - x^5/2) , dx = x^22 - 27 x^7/2 + C
onde $ C $ é a constante de integração que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular um valor definido.

Passo 8

Vamos calcular a integral definida de 1 a 3:
[ x^22 - 27 x^7/2 ]1^3 = ( 3^22 - 27 cdot 3^7/2 ) - ( 1^22 - 27 cdot 1^7/2 )
Calculando cada parte:
3^22 = 92 = 4.5
3^7/2 = 3^3 cdot 3^1/2 = 27 cdot raiz3 approx 27 cdot 1.732 = 46.764
27 cdot 46.764 approx 13.430
1^22 = 0.5
27 cdot 1 = 27 approx 0.2857
Então:
4.5 - 13.430 - 0.5 + 0.2857 approx -9.1543

Passo 9

Agora, multiplicamos o resultado da integral por $ 2\pi $:
2pi
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
V = 2pi cdot (-9.1543) approx -57.441 ú

Resposta

O volume da figura de revolução produzida é aproximadamente $ 57.44 $ unidades cúbicas.

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