A região R é delimitada por
e
. Considere a revolução dessa região em torno do eixo y. Determine o volume da figura de revolução produzida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região chamada R, que está delimitada pelas curvas $ y = x^{3/2} $, $ y = 1 $, $ x = 1 $ e $ x = 3 $. A tarefa é descobrir qual é o volume que essa região vai formar quando a gente gira ela em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos cilindros ou discos, que ajuda a calcular volumes de figuras obtidas por rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região R. A curva $ y = x^{3/2} $ é uma função que cresce conforme x aumenta. As linhas $ x = 1 $ e $ x = 3 $ são limites verticais, e $ y = 1 $ é um limite horizontal. Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que vamos girar.
Passo 3
Como queremos girar a região em torno do eixo y, o método dos cilindros será muito útil aqui. Esse método consiste em imaginar a região dividida em centenas de cilindros bem fininhos verticais. Cada cilindro tem um raio igual à distância do eixo y e uma altura igual à diferença das funções que definem a região.
Passo 4
Vamos identificar as funções que definem a altura dos nossos cilindros. A altura de cada cilindro será a diferença entre $ y = 1 $ e $ y = x^{3/2} $, ou seja, $ 1 - x^{3/2} $. O raio de cada cilindro é simplesmente o valor de x, já que estamos girando em torno do eixo y.
Passo 5
A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
onde $ h(x) $ é a altura do cilindro e $ a $ e $ b $ são os limites de integração. No nosso caso, $ h(x) = 1 - x^{3/2} $, $ a = 1 $ e $ b = 3 $.
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
onde $ C $ é a constante de integração que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular um valor definido.
Passo 8
Vamos calcular a integral definida de 1 a 3:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 9
Agora, multiplicamos o resultado da integral por $ 2\pi $:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume da figura de revolução produzida é aproximadamente $ 57.44 $ unidades cúbicas.