Uma função que satisfaz a equação diferencial abaixo
é dita uma função harmônica. Mostre que a função abaixo é harmônica:
Passo 1
Nesse exercício vamos mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
Isso envolve derivadas parciais de funções exponenciais e trigonométricas e o conceito de função harmônica.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas em relação a
. Primeiro:
Agora derivamos de novo para obter
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas em relação a
. Primeiro:
Derivando de novo, obtemos
Passo 4
Somamos as segundas derivadas:
Como a soma dá zero, concluímos que
é harmônica.
Resposta
A função é harmônica pois satisfaz
.