Uma função que satisfaz a equação diferencial abaixo
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0
é dita uma função harmônica. Mostre que a função abaixo é harmônica:
f(x, y)=e^-x cos (y)+e^-y cos (x)

Passo 1

Nesse exercício vamos mostrar que a função
f(x,y)=e^-xcos(y)+e^-ycos(x)
satisfaz a equação de Laplace
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0
Isso envolve derivadas parciais de funções exponenciais e trigonométricas e o conceito de função harmônica.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas em relação a x. Primeiro:
partial fpartial x=-e^-xcos(y)-e^-ysin(x)
Agora derivamos de novo para obter
partial^2 fpartial x^2=e^-xcos(y)-e^-ycos(x)

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas em relação a y. Primeiro:
partial fpartial y=-e^-xsin(y)-e^-ycos(x)
Derivando de novo, obtemos
partial^2 fpartial y^2=-e^-xcos(y)+e^-ycos(x)

Passo 4

Somamos as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=(e^-xcos(y)-e^-ycos(x))+(-e^-xcos(y)+e^-ycos(x))=0
Como a soma dá zero, concluímos que f é harmônica.

Resposta

A função é harmônica pois satisfaz fxx+fyy=0.

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