Um engenheiro num canteiro de obras dispõe de madeira suficiente para fazer 31 m de parede. O depósito a ser construído terá forma retangular e dividido ao meio. Quais as dimensões do depósito que devem ser usadas para obter-se um depósito de área máxima?
Respostas:
e
Respostas:
Passo 1
Estamos lidando com um problema de otimização de área de uma forma retangular dividida ao meio por uma parede interna: o engenheiro tem 31 m de madeira para montar as quatro paredes externas e uma divisória interna. Vamos usar cálculo para maximizar a área desse depósito.
Passo 2
Definimos as variáveis do jeito mais natural: seja
a dimensão horizontal do retângulo e
a dimensão vertical. Como há uma parede interna paralela a
, o comprimento total de madeira usado é a soma de duas vezes
(as paredes horizontais), três vezes
(duas paredes externas verticais mais a divisória) igual a 31 m:
Passo 3
Para eliminar uma variável, isolamos
em função de
:
A área do retângulo é
. Substituindo
obtemos uma função de
só:
Passo 4
Agora usamos cálculo para achar o máximo. Derivando
:
Igualando a zero para ponto crítico:
O segundo derivado é
confirmando que é máximo.
Passo 5
Finalmente, calculamos
usando a restrição:
Resposta
x = 7,75 m e y = 5,17 m