Um engenheiro num canteiro de obras dispõe de madeira suficiente para fazer 31 m de parede. O depósito a ser construído terá forma retangular e dividido ao meio. Quais as dimensões do depósito que devem ser usadas para obter-se um depósito de área máxima?
Respostas: x=7,75 m e y=5,16 m

Passo 1

Estamos lidando com um problema de otimização de área de uma forma retangular dividida ao meio por uma parede interna: o engenheiro tem 31 m de madeira para montar as quatro paredes externas e uma divisória interna. Vamos usar cálculo para maximizar a área desse depósito.

Passo 2

Definimos as variáveis do jeito mais natural: seja x a dimensão horizontal do retângulo e y a dimensão vertical. Como há uma parede interna paralela a y, o comprimento total de madeira usado é a soma de duas vezes x (as paredes horizontais), três vezes y (duas paredes externas verticais mais a divisória) igual a 31 m:
2x + 3y = 31

Passo 3

Para eliminar uma variável, isolamos x em função de y:
x = 31 - 3y2
A área do retângulo é A = x,y. Substituindo x obtemos uma função de y só:
A(y) = y cdot 31 - 3y2 = 31y - 3y^22

Passo 4

Agora usamos cálculo para achar o máximo. Derivando A(y):
A'(y) = 31 - 6y2
Igualando a zero para ponto crítico:
31 - 6y = 0 Rightarrow y = 316approx 5,17 m
O segundo derivado é
A''(y) = -3 < 0,
confirmando que é máximo.

Passo 5

Finalmente, calculamos x usando a restrição:
x = 31 - 3cdot(31/6)2 = 31 - 31/22 = 31/22 = 314 = 7,75 m

Resposta

x = 7,75 m e y = 5,17 m

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