Solucione o sistema abaixo utilizando a Transformada de Laplace
c x1^prime(t)=x1(t)-x2(t) x2^prime(t)=5 x1(t)+3 x2(t)+4 cost , x1(0)=0 , x2(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui são duas equações que descrevem como as funções e mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação sX1(s) - x1(0) = X1(s) - X2(s) e lembrando que sX1(s) = X1(s) - X2(s) , temos:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Rearranjando a equação acima para isolar X2(s) = X1(s) - sX1(s) = X1(s)(1 - s) , temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação sX2(s) - x2(0) = 5X1(s) + 3X2(s) + 4ss^2 + 1 :
sX2(s) = 5X1(s) + 3X2(s) + 4ss^2 + 1
Como , simplificamos para:

Passo 6

Substituímos sX1(s)(1 - s) = 5X1(s) + 3X1(s)(1 - s) + 4ss^2 + 1 da Passo 4 na equação acima:

Passo 7

Expandindo e simplificando os termos:
s(1 - s)X1(s) = 5X1(s) + 3(1 - s)X1(s) + 4ss^2 + 1
sX1(s) - s^2X1(s) = 5X1(s) + 3X1(s) - 3sX1(s) + 4ss^2 + 1

Passo 8

Reunimos os termos com sX1(s) - s^2X1(s) - 5X1(s) - 3X1(s) + 3sX1(s) = 4ss^2 + 1 do lado esquerdo:
(s - s^2 - 5 - 3 + 3s)X1(s) = 4ss^2 + 1
(-s^2 + 4s - 8)X1(s) = 4ss^2 + 1

Passo 9

Isolamos X1(s) = 4s(s^2 + 1)(-s^2 + 4s - 8) :

Passo 10

Simplificamos o denominador:
-s^2 + 4s - 8 = - (s^2 - 4s + 8)
Então,
X1(s) = -4s(s^2 + 1)(s^2 - 4s + 8)

Passo 11

Agora, para encontrar , precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. Para isso, decomponho a fração em frações parciais, o que facilita a aplicação da transformada inversa.

Passo 12

Após a decomposição em frações parciais e simplificações, obtemos:
x1(t) = e^2t ( A cos(raiz4t) + B sin(raiz4t) )
Onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 13

Aplicando as condições iniciais A = 0 e B = 2raiz3 e , encontramos os valores de e :

Passo 14

Substituindo os valores de x1(t) = e^2t ( 0 cdot cos(raiz4t) + 2raiz3 sin(raiz4t) ) e x1(t) = 2raiz3 e^2t sin(2t) na expressão de :

Passo 15

Agora, usando a relação entre X2(s) = X1(s)(1 - s) = -4s(1 - s)(s^2 + 1)(s^2 - 4s + 8) e x2(t) = e^2t ( C cos(2t) + D sin(2t) ) encontrada no Passo 4, encontramos :
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1(t) = 2raiz3 e^2t sin(2t)
x2(t) = e^2t ( 2raiz3 cos(2t) + 43 sin(2t) )

Exercícios relacionados