Solucione o sistema abaixo utilizando a Transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui são duas equações que descrevem como as funções
e
mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação
e lembrando que
, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Rearranjando a equação acima para isolar
, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação
:
Como
, simplificamos para:
Passo 6
Substituímos
da Passo 4 na equação acima:
Passo 7
Expandindo e simplificando os termos:
Passo 8
Reunimos os termos com
do lado esquerdo:
Passo 9
Isolamos
:
Passo 10
Simplificamos o denominador:
Então,
Passo 11
Agora, para encontrar
, precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. Para isso, decomponho a fração em frações parciais, o que facilita a aplicação da transformada inversa.
Passo 12
Após a decomposição em frações parciais e simplificações, obtemos:
Onde
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 13
Aplicando as condições iniciais
e
, encontramos os valores de
e
:
Passo 14
Substituindo os valores de
e
na expressão de
:
Passo 15
Agora, usando a relação entre
e
encontrada no Passo 4, encontramos
:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:
Resposta
As soluções do sistema são: