★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=x^{5}+3 x^{3} y^{2}+3 x y^{4}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x^{5}+3x^{3}y^{2}+3x y^{4}
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem, isto é:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y);
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação curta e prática)?
A derivada parcial de f em relação a x mede a variação de f quando só x varia e y fica fixo. A definição por limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Regras úteis (que vamos usar):
  • Linearidade: \dfrac{\partial}{\partial x}(a\cdot g)=a\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x} se a não depende de x.
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Para derivar em relação a x, qualquer fator que dependa só de y é tratado como constante; e vice-versa para derivar em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} termo a termo, tratando y como constante.
Termos de f:
x^{5},\qquad 3x^{3}y^{2},\qquad 3x y^{4}.
Derivando cada um em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4} pela regra do poder.
  • Em \,3x^{3}y^{2}, o fator 3y^{2} é constante (não depende de x), então
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}y^{2}\bigr)=3y^{2}\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{3})=3y^{2}\cdot 3x^{2}=9x^{2}y^{2}.
  • Em \,3x y^{4}, o fator 3y^{4} é constante em relação a x, então
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{4}\bigr)=3y^{4}\cdot\dfrac{d}{dx}(x)=3y^{4}.
Somando os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=5x^{4}+9x^{2}y^{2}+3y^{4}.

Passo 4

Podemos, se for útil na prova, fatorar a expressão em \dfrac{\partial f}{\partial x}. Por exemplo:
5x^{4}+9x^{2}y^{2}+3y^{4}= (x^{2})\bigl(5x^{2}+9y^{2}\bigr)+3y^{4},
ou notar outras fatorações, mas a forma polinomial expandida acima já é clara e suficiente.

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y} termo a termo, tratando x como constante.
Derivando cada termo em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{5}\bigr)=0 porque x^{5} não depende de y.
  • Em \,3x^{3}y^{2}, o fator 3x^{3} é constante (não depende de y), então
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}y^{2}\bigr)=3x^{3}\cdot\dfrac{d}{dy}(y^{2})=3x^{3}\cdot 2y=6x^{3}y.
  • Em \,3x y^{4}, o fator 3x é constante, então
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x y^{4}\bigr)=3x\cdot\dfrac{d}{dy}(y^{4})=3x\cdot 4y^{3}=12x y^{3}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6x^{3}y+12x y^{3}.

Passo 6

Também é útil ver uma fatoração de \dfrac{\partial f}{\partial y} para reconhecer padrão:
6x^{3}y+12x y^{3}=6xy\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr).
Isso pode facilitar avaliar a parcial em pontos ou simplificar contas na prova.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=5x^{4}+9x^{2}y^{2}+3y^{4}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6x^{3}y+12x y^{3}

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