★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem, isto é:
-
; -
.
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação curta e prática)?
A derivada parcial de em relação a
mede a variação de
quando só
varia e
fica fixo. A definição por limite é
A derivada parcial de
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Regras úteis (que vamos usar):
- Linearidade:
se não depende de . - Regra do poder:
. - Para derivar em relação a
, qualquer fator que dependa só de é tratado como constante; e vice-versa para derivar em relação a .
Passo 3
Vamos calcular
termo a termo, tratando
como constante.
Termos de
:
Derivando cada um em relação a
:
-
pela regra do poder. - Em
, o fator é constante (não depende de ), então
- Em
, o fator é constante em relação a , então
Somando os resultados:
Passo 4
Podemos, se for útil na prova, fatorar a expressão em
. Por exemplo:
ou notar outras fatorações, mas a forma polinomial expandida acima já é clara e suficiente.
Passo 5
Agora calculamos
termo a termo, tratando
como constante.
Derivando cada termo em relação a
:
-
porque não depende de . - Em
, o fator é constante (não depende de ), então
- Em
, o fator é constante, então
Somando:
Passo 6
Também é útil ver uma fatoração de
para reconhecer padrão:
Isso pode facilitar avaliar a parcial em pontos ou simplificar contas na prova.