★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
, ou seja, calcular
e
.
Informações relevantes que temos: a variável dependente é e as variáveis independentes são
e
. A expressão interna do cosseno é o produto
.
Informações relevantes que temos: a variável dependente é
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
mede como
varia quando apenas
muda e
é mantido fixo. Formalmente,
A derivada parcial de
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Na prática, em funções compostas como
com
, usa-se a regra da cadeia: derivar a função externa em relação a
e multiplicar pela derivada de
em relação à variável de interesse.
Passo 3
Identificar a função interna e suas derivadas parciais: seja
. Vamos calcular
e
.
Tratando como constante ao derivar em relação a
,
Tratando
Tratando
como constante ao derivar em relação a
,
Explicação curta: como
é o produto de
e
, quando um varia o outro é constante, então a derivada é simplesmente o outro fator.
Passo 4
Regra da cadeia para funções compostas: se
com
, então
Sabendo que
, temos a parte externa da regra da cadeia pronta.
Passo 5
Aplicar a cadeia com
e as derivadas encontradas no Passo 3.
Para
:
Para
:
Comentário prático para prova: trate sempre a variável que não está sendo derivada como constante; identifique a função externa (aqui
) e a interna (aqui
), derive a externa e multiplique pela derivada da interna.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para conferir (opcional): em
,
Isso ajuda a ver que as fórmulas funcionam e dá uma checagem rápida.