★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
z=\cos (x y)

Passo 1

O enunciado dá a função z=\cos(xy) e pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de z, ou seja, calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes que temos: a variável dependente é z e as variáveis independentes são x e y. A expressão interna do cosseno é o produto xy.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de z em relação a x mede como z varia quando apenas x muda e y é mantido fixo. Formalmente,
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{z(x+h,y)-z(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{z(x,y+h)-z(x,y)}{h}.
Na prática, em funções compostas como z=\cos(u) com u=xy, usa-se a regra da cadeia: derivar a função externa em relação a u e multiplicar pela derivada de u em relação à variável de interesse.

Passo 3

Identificar a função interna e suas derivadas parciais: seja u(x,y)=xy. Vamos calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Tratando y como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x)=y\cdot 1=y.
Tratando x como constante ao derivar em relação a y,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y)=x\cdot 1=x.
Explicação curta: como u é o produto de x e y, quando um varia o outro é constante, então a derivada é simplesmente o outro fator.

Passo 4

Regra da cadeia para funções compostas: se z=\cos(u) com u=u(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{d}{du}\big(\cos(u)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{d}{du}\big(\cos(u)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Sabendo que \dfrac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u), temos a parte externa da regra da cadeia pronta.

Passo 5

Aplicar a cadeia com u=xy e as derivadas encontradas no Passo 3.
Para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=-\sin(xy)\cdot y=-y\sin(xy).
Para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=-\sin(xy)\cdot x=-x\sin(xy).
Comentário prático para prova: trate sempre a variável que não está sendo derivada como constante; identifique a função externa (aqui \cos) e a interna (aqui xy), derive a externa e multiplique pela derivada da interna.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para conferir (opcional): em (x,y)=(1,2),
\frac{\partial z}{\partial x}(1,2)=-2\sin(2),\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,2)=-1\sin(2)=-\sin(2).
Isso ajuda a ver que as fórmulas funcionam e dá uma checagem rápida.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-y\sin(xy)
\dfrac{\partial z}{\partial y}=-x\sin(xy)

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