Nos itens abaixo, encotre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
de três variáveis
e pede para encontrar as derivadas parciais
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita usando o logaritmo natural
. - O argumento do
é a combinação linear . - Para que
esteja bem definida (no conjunto dos números reais), é necessário que .
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo ) mede a taxa de mudança de quando apenas varia e as outras variáveis ( ) são mantidas fixas. - Formalmente, a derivada parcial em
é
Mas na prática usamos regras de derivação, como a regra da cadeia, para calcular de forma mais direta.
Passo 3
Regra útil: derivada de
em relação à variável que afeta
é dada pela regra da cadeia:
Aqui
é a função interna (o argumento do
). No nosso caso, defina a função interna
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Explicando rapidamente: ao derivar
em relação a
dá
;
e
são constantes quando derivamos em relação a
, por isso viram
. Análoga lógica para as demais variáveis.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para cada derivada parcial de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Cada uma dessas fórmulas segue a mesma ideia: derivar o
dá
e depois multiplicar pela derivada parcial do argumento em relação à variável escolhida.
Passo 5
Observações finais e dica para prova:
- Sempre identifique primeiro a “função interna”
quando houver uma composição (aqui ). - Calcule as derivadas parciais de
(são fáceis quando é linear). - Aplique a regra da cadeia:
. - Verifique a condição do domínio
ao final, pois fora dela (e, portanto, as derivadas) não são reais.