Nos itens abaixo, encotre f_{x}, f_{y} e f_{z}.
f(x, y, z)=\ln (x+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado dá a função f de três variáveis
f(x,y,z)=\ln\bigl(x+2y+3z\bigr)
e pede para encontrar as derivadas parciais f_{x}, f_{y} e f_{z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita usando o logaritmo natural \ln.
  • O argumento do \ln é a combinação linear x+2y+3z.
  • Para que f esteja bem definida (no conjunto dos números reais), é necessário que x+2y+3z>0.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x) mede a taxa de mudança de f quando apenas x varia e as outras variáveis ( y,z) são mantidas fixas.
  • Formalmente, a derivada parcial em x é
f_x(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Mas na prática usamos regras de derivação, como a regra da cadeia, para calcular de forma mais direta.

Passo 3

Regra útil: derivada de \ln(u) em relação à variável que afeta u é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{d(\text{variável})}\ln\bigl(u\bigr)=\frac{1}{u}\cdot\frac{d u}{d(\text{variável})}.áá
Aqui u é a função interna (o argumento do \ln). No nosso caso, defina a função interna
u(x,y,z)=x+2y+3z.
Vamos calcular as derivadas parciais de u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y+3z)=1,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+2y+3z)=2,
u_z=\frac{\partial}{\partial z}(x+2y+3z)=3.
Explicando rapidamente: ao derivar x em relação a x 1; 2y e 3z são constantes quando derivamos em relação a x, por isso viram 0. Análoga lógica para as demais variáveis.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para cada derivada parcial de f.
Para f_x:
f_x=\frac{1}{u(x,y,z)}\cdot u_x=\frac{1}{x+2y+3z}\cdot 1=\frac{1}{x+2y+3z}.
Para f_y:
f_y=\frac{1}{u(x,y,z)}\cdot u_y=\frac{1}{x+2y+3z}\cdot 2=\frac{2}{x+2y+3z}.
Para f_z:
f_z=\frac{1}{u(x,y,z)}\cdot u_z=\frac{1}{x+2y+3z}\cdot 3=\frac{3}{x+2y+3z}.
Cada uma dessas fórmulas segue a mesma ideia: derivar o \ln 1/( \text{argumento} ) e depois multiplicar pela derivada parcial do argumento em relação à variável escolhida.

Passo 5

Observações finais e dica para prova:
  • Sempre identifique primeiro a “função interna” u quando houver uma composição (aqui \ln(u)).
  • Calcule as derivadas parciais de u (são fáceis quando u é linear).
  • Aplique a regra da cadeia: f_{(\cdot)}=(1/u)\cdot u_{(\cdot)}.
  • Verifique a condição do domínio x+2y+3z>0 ao final, pois fora dela f (e, portanto, as derivadas) não são reais.

Resposta

f_x=\dfrac{1}{x+2y+3z}
f_y=\dfrac{2}{x+2y+3z}
f_z=\dfrac{3}{x+2y+3z}

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