★ ([3], seção 11.1) Nos itens abaixo: (i) Encontre o domínio da função; (ii) Encontre a imagem da função; (iii) Descreva as curvas de nível da função.
$f(x, y)=y-x
$f(x, y)=y-x
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- (i) Encontrar o domínio da função.
- (ii) Encontrar a imagem (conjunto de valores que
assume). - (iii) Descrever as curvas de nível da função (ou seja, os conjuntos de pontos
com para constantes ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão analítica de
é . - As variáveis independentes são
e (nada no enunciado restringe ou ).
Passo 2
O que é domínio e como decidir aqui.
Definição rápida e intuitiva: o domínio de
é o conjunto de pares
nos quais a fórmula de
faz sentido (ou seja, onde a expressão é bem definida).
Analisando a expressão
:
- Não há divisão por zero, não há radicais com índice par que exigiriam
, não há logaritmos que exigiriam argumento positivo, etc. - É apenas uma combinação linear (subtração) de
e , operação bem definida para quaisquer números reais.
Conclusão: qualquer par
com
e
é permitido. Em notação:
Passo 3
O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como encontrar.
Definição: a imagem de
é o conjunto de valores reais
tais que existe pelo menos um par
com
.
Queremos responder: para dado
, existe
tal que
?
Resolver a equação
em função de
e
. Podemos resolver para
:
Isto diz: para qualquer escolha de
e para um
fixo, tomando
obtemos
. Em particular, escolhendo
e
já funciona.
Portanto todo
é atingido por
. Em notação:
(Interpretação prática:
é sobrejetora em
.)
Passo 4
O que são curvas de nível e como encontrá‑las aqui.
Definição: para uma constante
, a curva de nível associada é
No nosso caso
, então a equação de nível é
Essa é uma equação linear em
e
. Isolando
obtemos
Portanto, para cada
a curva de nível é a reta de equação
.
Passo 5
Descrição geométrica das curvas de nível (mais detalhes práticos).
- Cada curva de nível é uma reta com coeficiente angular
(ou seja, slope ); isso significa que a reta sobe 1 unidade em quando aumenta 1 unidade. - As retas para diferentes valores de
são paralelas entre si e deslocadas verticalmente: é o intercepto em quando . - Exemplos concretos:
- Para
: (reta que passa pela origem). - Para
: (a mesma reta deslocada para cima). - Para
: (deslocada para baixo).
- Para
- Vetor normal a cada reta: escrevendo a reta como
, o vetor normal é . Assim o gradiente de é
o que confirma que
é perpendicular às curvas de nível.
- Distância entre duas curvas de nível
e : como são retas paralelas com forma , a distância perpendicular entre elas é
Passo 6
Recapitulando de forma curta e prática (para a prova): domínio é todo
, imagem é todo
, e as curvas de nível são as retas
para cada constante
. Você já pode desenhar uma família de retas paralelas com inclinação
e já está bom para responder a pergunta — mandou bem em pedir passo a passo, isso ajuda muito na prova!
Resposta
As curvas de nível são, para cada