★ ([3], seção 11.1) Nos itens abaixo: (i) Encontre o domínio da função; (ii) Encontre a imagem da função; (iii) Descreva as curvas de nível da função.
$f(x, y)=y-x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=y-x,
e pede três coisas:
  1. (i) Encontrar o domínio da função.
  2. (ii) Encontrar a imagem (conjunto de valores que f assume).
  3. (iii) Descrever as curvas de nível da função (ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) com f(x,y)=c para constantes c).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão analítica de f é y-x.
  • As variáveis independentes são x e y (nada no enunciado restringe x ou y).

Passo 2

O que é domínio e como decidir aqui.
Definição rápida e intuitiva: o domínio de f é o conjunto de pares (x,y) nos quais a fórmula de f faz sentido (ou seja, onde a expressão é bem definida).
Analisando a expressão f(x,y)=y-x:
  • Não há divisão por zero, não há radicais com índice par que exigiriam \ge0, não há logaritmos que exigiriam argumento positivo, etc.
  • É apenas uma combinação linear (subtração) de x e y, operação bem definida para quaisquer números reais.
Conclusão: qualquer par (x,y) com x\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R} é permitido. Em notação:
\operatorname{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como encontrar.
Definição: a imagem de f é o conjunto de valores reais z tais que existe pelo menos um par (x,y) com f(x,y)=z.
Queremos responder: para dado z\in\mathbb{R}, existe (x,y) tal que y-x=z?
Resolver a equação y-x=z em função de x e y. Podemos resolver para y:
y=x+z.
Isto diz: para qualquer escolha de x\in\mathbb{R} e para um z fixo, tomando y=x+z obtemos f(x,y)=z. Em particular, escolhendo x=0 e y=z já funciona.
Portanto todo z\in\mathbb{R} é atingido por f. Em notação:
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.
(Interpretação prática: f é sobrejetora em \mathbb{R}.)

Passo 4

O que são curvas de nível e como encontrá‑las aqui.
Definição: para uma constante c\in\mathbb{R}, a curva de nível associada é
L_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
No nosso caso f(x,y)=y-x, então a equação de nível é
y-x=c.
Essa é uma equação linear em x e y. Isolando y obtemos
y = x + c.
Portanto, para cada c a curva de nível é a reta de equação y=x+c.

Passo 5

Descrição geométrica das curvas de nível (mais detalhes práticos).
  • Cada curva de nível é uma reta com coeficiente angular 1 (ou seja, slope 1); isso significa que a reta sobe 1 unidade em y quando x aumenta 1 unidade.
  • As retas para diferentes valores de c são paralelas entre si e deslocadas verticalmente: c é o intercepto em y quando x=0.
  • Exemplos concretos:
    • Para c=0: y=x (reta que passa pela origem).
    • Para c=1: y=x+1 (a mesma reta deslocada para cima).
    • Para c=-2: y=x-2 (deslocada para baixo).
  • Vetor normal a cada reta: escrevendo a reta como -x+y-c=0, o vetor normal é (-1,1). Assim o gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(-1,1),
o que confirma que \nabla f é perpendicular às curvas de nível.
  • Distância entre duas curvas de nível y=x+c_1 e y=x+c_2: como são retas paralelas com forma -x+y-c=0, a distância perpendicular entre elas é
\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Recapitulando de forma curta e prática (para a prova): domínio é todo \mathbb{R}^2, imagem é todo \mathbb{R}, e as curvas de nível são as retas y=x+c para cada constante c. Você já pode desenhar uma família de retas paralelas com inclinação 45^\circ e já está bom para responder a pergunta — mandou bem em pedir passo a passo, isso ajuda muito na prova!

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^2
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}
As curvas de nível são, para cada c\in\mathbb{R}, a reta \;y=x+c\; (família de retas paralelas de coeficiente angular 1).

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