Uma formiga, no plano x y, está situada no ponto (4,1). A temperatura no ponto (x, y) é dada por f(x, y)=x^3-3 x y^2+10. Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar segundo o vetor v, nos casos:
a) v=lang<= 1,1rang<=

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a formiga, ao se mover na direção de vec v = lang<=1,1rang<= a partir de (4,1), vai experimentar aquecimento ou resfriamento. O conteúdo aqui é derivada direcional, que usa o gradiente de f(x,y) e a definição de derivada direcional em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro vamos achar o gradiente de f(x,y)=x^3-3xy^2+10. Calculamos as derivadas parciais: partial fpartial x=3x^2-3y^2, partial fpartial y=-6xy Avaliando em (4,1) obtemos nabla f(4,1)=(3cdot16-3cdot1,,-6cdot4cdot1)=(45,-24)

Passo 3

Agora precisamos do vetor unitário na direção de vec v=lang<=1,1rang<=. O comprimento de vec v é |vec v|=raiz1^2+1^2=raiz2, logo o vetor unitário é hat v=1raiz2lang<=1,1rang<=

Passo 4

A derivada direcional de f em (4,1) na direção de hat v é Dhat vf(4,1)=nabla f(4,1)cdothat v=(45,-24)cdot1raiz2(1,1)=45-24raiz2=21raiz2 Como esse valor é positivo, a temperatura aumenta nessa direção, ou seja, a formiga tende a se aquecer.

Resposta

A derivada direcional é 21/raiz2>0, portanto a formiga tende a se aquecer.

Exercícios relacionados