Uma formiga, no plano
, está situada no ponto (4,1). A temperatura no ponto
é dada por
. Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer ou se resfriar, se ela tender a se deslocar segundo o vetor
, nos casos:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para avaliar se a formiga, ao se mover na direção de
a partir de
, vai experimentar aquecimento ou resfriamento. O conteúdo aqui é derivada direcional, que usa o gradiente de
e a definição de derivada direcional em um vetor unitário.
Passo 2
Primeiro vamos achar o gradiente de
. Calculamos as derivadas parciais:
Avaliando em
obtemos
Passo 3
Agora precisamos do vetor unitário na direção de
. O comprimento de
é
, logo o vetor unitário é
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção de
é
Como esse valor é positivo, a temperatura aumenta nessa direção, ou seja, a formiga tende a se aquecer.
Resposta
A derivada direcional é
, portanto a formiga tende a se aquecer.