Calcule o gradiente de f nos casos
c) f(x, y, z)=x cdot ln (y)+y cdot ln (z)+z cdot ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y,z)=x·ln(y)+y·ln(z)+z·ln(x). O conteúdo aqui é derivadas parciais em múltiplas variáveis e vamos precisar usar as definições de derivada parcial, a regra do produto e a derivada de ln.

Passo 2

Lembre que o gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Ou seja,
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr).

Passo 3

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. Note que apenas os termos x·ln(y) e z·ln(x) dependem de x. Assim:
partialpartial x[x,ln(y)] = ln(y),
partialpartial x[z,ln(x)] = zcdot1x = zx
Logo,
partial fpartial x = ln(y) + zx

Passo 4

Para calcular partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. Os termos que dependem de y são x·ln(y) e y·ln(z). Temos:
partialpartial y[x,ln(y)] = xcdot1y = xy,
partialpartial y[y,ln(z)] = ln(z)
Portanto,
partial fpartial y = xy + ln(z)

Passo 5

Para calcular partial fpartial z, tratamos x e y como constantes. Os termos que dependem de z são y·ln(z) e z·ln(x). Logo:
partialpartial z[y,ln(z)] = ycdot1z = yz,
partialpartial z[z,ln(x)] = ln(x)
Então,
partial fpartial z = yz + ln(x)

Resposta

nabla f(x,y,z) = l(ln(y) + zx,; xy + ln(z),; yz + ln(x)r)

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