Calcule o gradiente de
nos casos
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y,z)=x·ln(y)+y·ln(z)+z·ln(x). O conteúdo aqui é derivadas parciais em múltiplas variáveis e vamos precisar usar as definições de derivada parcial, a regra do produto e a derivada de ln.
Passo 2
Lembre que o gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Ou seja,
.
Passo 3
Para calcular
, tratamos y e z como constantes. Note que apenas os termos x·ln(y) e z·ln(x) dependem de x. Assim:
Logo,
Logo,
Passo 4
Para calcular
, tratamos x e z como constantes. Os termos que dependem de y são x·ln(y) e y·ln(z). Temos:
Portanto,
Portanto,
Passo 5
Para calcular
, tratamos x e y como constantes. Os termos que dependem de z são y·ln(z) e z·ln(x). Logo:
Então,
Então,