Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que vamos analisar é $ f(x, y) = \cos(x^{3} + y^{3}) $. Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função interna dentro do cosseno é $ u = x^{3} + y^{3} $.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $. Então, multiplicamos isso pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Calculamos a derivada de $ u = x^{3} + y^{3} $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $, a derivada de $ y^{3} $ é zero. Então:
Passo 5
Substituímos de volta na expressão para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usamos o mesmo procedimento da regra da cadeia com $ u = x^{3} + y^{3} $.
Passo 7
Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 8
Calculamos a derivada de $ u = x^{3} + y^{3} $ em relação a $ y $. Como $ x $ é tratado como uma constante em relação a $ y $, a derivada de $ x^{3} $ é zero. Então:
Passo 9
Substituímos de volta na expressão para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \cos(x^{3} + y^{3}) $ são: