Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
z=x^2+y^2, P=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície z = x^2 + y^2 no ponto cujas coordenadas no domínio são (x0,y0)=(1,2). Vamos tratar de uma função de duas variáveis e usar derivadas parciais para montar o plano.

Passo 2

Para uma função z = f(x,y), o plano tangente em (x0,y0,f(x0,y0)) é dado por:
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui temos f(x,y)=x2+y2, então calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=2x,
fy(x,y)=2y

Passo 3

Agora avaliamos em (1,2): temos f(1,2)=1^2+2^2=5, fx(1,2)=2cdot1=2 e fy(1,2)=2cdot2=4. Substituindo na fórmula do plano:
z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)
Por fim, simplificando:
z = 2x + 4y - 5

Resposta

z = 2x + 4y - 5

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