Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
F(alpha, beta)=integrala^beta raizbeta+1 d t

Passo 1

O enunciado define a função
F(alpha,beta)=integrala^betaraizbeta+1,dt
O conteúdo aqui é derivadas parciais e a aplicação da Regra de Leibniz (ou, equivalentemente, transformação do integral quando o integrando independe da variável de integração).

Passo 2

Note que o integrando raizbeta+1 não depende de t. Logo podemos tirar esse termo fora do integral:
F(alpha,beta) =raizbeta+1integrala^betadt =(beta-a)raizbeta+1

Passo 3

Para calcular partial Fpartial alpha, observamos que a expressão (beta-a)raizbeta+1 não depende de alpha. Portanto,
partial Fpartial alpha=0

Passo 4

Para calcular partial Fpartial beta, aplicamos a regra do produto a
F(beta)=(beta-a),(beta+1)^1/2
Seja u=beta-a e v=(beta+1)^1/2. Então u'=1 e
v'=12(beta+1)^-1/2=12raizbeta+1
Pelo produto,
partial Fpartial beta =u',v+u,v' =raizbeta+1+(beta-a),12raizbeta+1 =raizbeta+1+beta-a2raizbeta+1

Resposta

partial Fpartial alpha=0, partial Fpartial beta =raizbeta+1+beta-a2raizbeta+1

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