Verifique se as funções são solução da equação de calor
f(x, t)=e^-eta^2 t cosh (eta t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,t)=e^-eta^2t,coshl(eta xr)
é solução da equação do calor unidimensional
partial fpartial t ;=;partial^2 fpartial x^2
Para isso vamos calcular partialtf e partialx^2f e comparar os resultados.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada em relação a t. Como a parte dependente de t é e^-eta^2t e cosh(eta x) é tratado como constante em relação a t, vale
partial fpartial t =ddtl(e^-eta^2tr),cosh(eta x) =-eta^2,e^-eta^2t,cosh(eta x)
Portanto
boxedpartial fpartial t=-eta^2,e^-eta^2tcosh(eta x)

Passo 3

Agora a derivada segunda em x. Primeiro
partial fpartial x =e^-eta^2t,ddxl[cosh(eta x)r] =e^-eta^2t,eta,sinh(eta x)
Derivando de novo em x:
partial^2fpartial x^2 =e^-eta^2t,eta;ddxl[sinh(eta x)r] =e^-eta^2t,eta^2,cosh(eta x)
Logo
boxedpartial^2fpartial x^2 =eta^2,e^-eta^2tcosh(eta x)

Passo 4

Para satisfazer a equação do calor precisamos ter
partial fpartial t ;stackrel?=; partial^2fpartial x^2
Mas obtivemos
partial fpartial t=-eta^2,e^-eta^2tcosh(eta x), partial^2fpartial x^2=+eta^2,e^-eta^2tcosh(eta x)
Claramente -eta^2fneq+eta^2f salvo no caso trivial eta=0 ou f=0. Logo, em geral
partialtfneqpartialx^2f.

Resposta

A função f(x,t)=e^-eta^2tcosh(eta x) não satisfaz a equação do calor partialtf=partialx^2f (exceto no caso degenerado eta=0).

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