Dizemos que uma matriz A, n times n, é simétrica se A^t=A e é anti-simétrica se A^t=-A.
(a) Mostre que se A é simétrica, então ai j=aj i, para i, j=1, ldots n e que se A é anti-simétrica, então ai j=-aj i, para i, j=1, ldots n. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz antisimétrica são iguais a zero.
(b) Mostre que se A e B são simétricas, então A+B e alpha A são simétricas, para todo escalar alpha.
(c) Mostre que se A e B são simétricas, então A B é simétrica se, e somente se, A B=B A.
(d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então A+B e alpha A são anti-simétricas, para todo escalar alpha.
(e) Mostre que para toda matriz A, n times n, A+A^t é simétrica e A-A^t é anti-simétrica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. (Sugestão: Observe o resultado da soma de A+A^t com A-A^t.)

Passo 1

O enunciado trata de matrizes quadradas AinR^ntimes n e das propriedades de serem simétricas ( A^t=A) ou anti-simétricas ( A^t=-A). Vamos usar a propriedade básica de transposição de matrizes, que diz que o elemento na linha i e coluna j de A^t é
(A^t)ij=aji,
para derivar cada uma das afirmações pedidas em (a)–(f).

Passo 2

(a) Se A é simétrica, então A^t=A. Em termos de entradas:
(A^t)ij=aij
Mas (A^t)ij=aji, logo
aji=aij Longrightarrow aij=aji para todo i,j
Se A é anti-simétrica, então A^t=-A, isto é,
(A^t)ij=-aij
Como (A^t)ij=aji, segue
aji=-aij Longrightarrow aij=-aji para todo i,j
Em particular, para i=j temos aii=-aii, de onde 2,aii=0 e portanto
aii=0 (e<=mentos da diagonal principal são zero) ã

Passo 3

(b) Se A e B são simétricas, então A^t=A e B^t=B. Para a soma
(A+B)^t=A^t+B^t=A+B,
logo A+B é simétrica. Para o escalar alphainR,
(alpha A)^t=alpha,A^t=alpha A,
então alpha A também é simétrica.

Passo 4

(c) Para o produto de duas matrizes, vale sempre
(AB)^t=B^tA^t
Se A e B são simétricas, A^t=A e B^t=B, então
(AB)^t=B,A
Logo AB será simétrica ( (AB)^t=AB) se, e somente se,
BA=AB,
isto é, se A e B comutam.

Passo 5

(d) Se A e B são anti-simétricas, A^t=-A e B^t=-B. Para a soma,
(A+B)^t=A^t+B^t=-A-B=-(A+B),
logo A+B é anti-simétrica. Para escalar alpha,
(alpha A)^t=alpha,A^t=-alpha A=-(alpha A),
portanto alpha A também é anti-simétrica.

Passo 6

(e) Para qualquer matriz A, considere as matrizes S=A+A^t e K=A-A^t. Tem-se
S^t=(A+A^t)^t=A^t+(A^t)^t=A^t+A=S,
logo S é simétrica, e
K^t=(A-A^t)^t=A^t-(A^t)^t=A^t-A=-(A-A^t)=-K,
logo K é anti-simétrica.

Passo 7

(f) A identidade do item (e) mostra que
A+A^té simétrica, A-A^té anti-simétrica éééé
Basta escrever
A =tfrac12l(A+A^tr) +tfrac12l(A-A^tr),
onde tfrac12(A+A^t) é simétrica e tfrac12(A-A^t) é anti-simétrica. Assim, toda A se decompõe como soma de uma parte simétrica e uma anti-simétrica.

Resposta

(a) Se A^t=A então aij=aji; se A^t=-A então aij=-aji e, para i=j, aii=0.
(b) (A+B)^t=A+B e (alpha A)^t=alpha A, logo A+B e alpha A são simétricas.
(c) (AB)^t=BA, então AB é simétrica se, e somente se, AB=BA.
(d) (A+B)^t=-(A+B) e (alpha A)^t=-(alpha A), logo A+B e alpha A são anti-simétricas.
(e) A+A^t é simétrica e A-A^t é anti-simétrica.
(f)
A =tfrac12l(A+A^tr) +tfrac12l(A-A^tr),
decompondo A em parte simétrica e parte anti-simétrica.

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