Dizemos que uma matriz
, é simétrica se
e é anti-simétrica se
.
(a) Mostre que se
é simétrica, então
, para
e que se
é anti-simétrica, então
, para
. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz antisimétrica são iguais a zero.
(b) Mostre que se
e
são simétricas, então
e
são simétricas, para todo escalar
.
(c) Mostre que se
e
são simétricas, então
é simétrica se, e somente se,
.
(d) Mostre que se
e
são anti-simétricas, então
e
são anti-simétricas, para todo escalar
.
(e) Mostre que para toda matriz
é simétrica e
é anti-simétrica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. (Sugestão: Observe o resultado da soma de
.)
(a) Mostre que se
(b) Mostre que se
(c) Mostre que se
(d) Mostre que se
(e) Mostre que para toda matriz
(f) Mostre que toda matriz quadrada
Passo 1
O enunciado trata de matrizes quadradas
e das propriedades de serem simétricas (
) ou anti-simétricas (
). Vamos usar a propriedade básica de transposição de matrizes, que diz que o elemento na linha
e coluna
de
é
para derivar cada uma das afirmações pedidas em (a)–(f).
Passo 2
(a) Se
é simétrica, então
. Em termos de entradas:
Mas
, logo
Se
é anti-simétrica, então
, isto é,
Como
, segue
Em particular, para
temos
, de onde
e portanto
Passo 3
(b) Se
e
são simétricas, então
e
. Para a soma
logo
é simétrica. Para o escalar
,
então
também é simétrica.
Passo 4
(c) Para o produto de duas matrizes, vale sempre
Se
e
são simétricas,
e
, então
Logo
será simétrica (
) se, e somente se,
isto é, se
e
comutam.
Passo 5
(d) Se
e
são anti-simétricas,
e
. Para a soma,
logo
é anti-simétrica. Para escalar
,
portanto
também é anti-simétrica.
Passo 6
(e) Para qualquer matriz
, considere as matrizes
e
. Tem-se
logo
é simétrica, e
logo
é anti-simétrica.
Passo 7
(f) A identidade do item (e) mostra que
Basta escrever
onde
é simétrica e
é anti-simétrica. Assim, toda
se decompõe como soma de uma parte simétrica e uma anti-simétrica.
Resposta
(a) Se
então
; se
então
e, para
,
.
(b) e
, logo
e
são simétricas.
(c) , então
é simétrica se, e somente se,
.
(d) e
, logo
e
são anti-simétricas.
(e) é simétrica e
é anti-simétrica.
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
decompondo
em parte simétrica e parte anti-simétrica.