Dizemos que uma matriz
, é simétrica se
e é anti-simétrica se
.
(a) Mostre que se
é simétrica, então
, para
e que se
é anti-simétrica, então
, para
. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz antisimétrica são iguais a zero.
(b) Mostre que se
e
são simétricas, então
e
são simétricas, para todo escalar
.
(c) Mostre que se
e
são simétricas, então
é simétrica se, e somente se,
.
(d) Mostre que se
e
são anti-simétricas, então
e
são anti-simétricas, para todo escalar
.
(e) Mostre que para toda matriz
é simétrica e
é anti-simétrica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. (Sugestão: Observe o resultado da soma de
.)