Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
definida por
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = e^{xz} \cdot \sin\left(\frac{y}{z}\right) $. Isso está no conteúdo de cálculo multivariável, especificamente em derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis, lembrando que ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Nessa derivada, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A função $ f(x, y, z) = e^{xz} \cdot \sin\left(\frac{y}{z}\right) $ tem duas partes multiplicadas: $ e^{xz} $ e $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $. Como $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $ não depende de $ x $, ela é considerada constante em relação a $ x $.
Aplicando a regra básica de derivação, a derivada de $ e^{xz} $ em relação a $ x $ é $ z \cdot e^{xz} $. Então, multiplicamos isso pela constante $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, $ x $ e $ z $ são tratados como constantes. A função $ e^{xz} $ é constante em relação a $ y $, então precisamos derivar $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $ em relação a $ y $.
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e a derivada de $ \frac{y}{z} $ em relação a $ y $ é $ \frac{1}{z} $. Aplicando a regra da cadeia, temos $ \frac{\partial}{\partial y} \sin\left(\frac{y}{z}\right) = \cos\left(\frac{y}{z}\right) \cdot \frac{1}{z} $. Multiplicamos isso pela constante $ e^{xz} $.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. Precisamos derivar a função completa $ e^{xz} \cdot \sin\left(\frac{y}{z}\right) $ em relação a $ z $.
Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Então, derivamos $ e^{xz} $ em relação a $ z $ e multiplicamos por $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $, e depois adicionamos $ e^{xz} $ vezes a derivada de $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $ em relação a $ z $.
A derivada de $ e^{xz} $ em relação a $ z $ é $ x \cdot e^{xz} $. Para $ \sin\left(\frac{y}{z}\right) $, usamos novamente a regra da cadeia: a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ multiplicado pela derivada de $ u $, que no caso é $ \frac{-y}{z^2} $.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = e^{xz} \cdot \sin\left(\frac{y}{z}\right) $ são: