Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin e respectivo raio de convergência de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência para a função $ f(x) = - (1 - x)^{-1/3} $ usando a série binomial. Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita de potências de $ x $ e descobrir até onde essa série vale (o raio de convergência).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série binomial. A série binomial para $ (1 + x)^k $ é dada por:
onde $ \binom{k}{n} $ é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
No nosso caso, temos $ (1 - x)^{-1/3} $, que é similar a $ (1 + x)^k $ só que com $ x $ negativo e $ k = -1/3 $. Então, vamos ajustar a fórmula:
E a função $ f(x) $ tem um sinal negativo na frente, então:
Passo 3
Vamos calcular os primeiros termos da série para entender como fica:
Para $ n = 0 $:
Então, o primeiro termo é $ -1 $.
Para $ n = 1 $:
Então, o segundo termo é $ - \left(-\frac{1}{3}\right)(-x) = -\frac{1}{3}x $.
Para $ n = 2 $:
Então, o terceiro termo é $ -\frac{2}{9}x^2 $.
Continuando assim, a série de Maclaurin fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos diz para qual valor de $ x $ a série converge.
O termo geral da série binomial é:
Aplicando o teste da razão:
Simplificando, para grandes $ n $, o limite fica:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é $ R = 1 $.
Resposta
A série de Maclaurin para $ f(x) = - (1 - x)^{-1/3} $ é:
E o raio de convergência dessa série é $ R = 1 $.