Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin e respectivo raio de convergência de
f(x)=-(1-x)^-1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência para a função $ f(x) = - (1 - x)^{-1/3} $ usando a série binomial. Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita de potências de $ x $ e descobrir até onde essa série vale (o raio de convergência).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série binomial. A série binomial para $ (1 + x)^k $ é dada por:
(1 + x)^k
onde $ \binom{k}{n} $ é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
(1 + x)^k = sumn=0^infty binomkn x^n
No nosso caso, temos $ (1 - x)^{-1/3} $, que é similar a $ (1 + x)^k $ só que com $ x $ negativo e $ k = -1/3 $. Então, vamos ajustar a fórmula:
binomkn
E a função $ f(x) $ tem um sinal negativo na frente, então:
binomkn = k (k - 1) (k - 2) cdots (k - n + 1)n!

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos da série para entender como fica:
Para $ n = 0 $:
n = 0
Então, o primeiro termo é $ -1 $.
Para $ n = 1 $:
binom-1/30 = 1 e (-x)^0 = 1
Então, o segundo termo é $ - \left(-\frac{1}{3}\right)(-x) = -\frac{1}{3}x $.
Para $ n = 2 $:
-1
Então, o terceiro termo é $ -\frac{2}{9}x^2 $.
Continuando assim, a série de Maclaurin fica:
n = 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos diz para qual valor de $ x $ a série converge.
O termo geral da série binomial é:
x
Aplicando o teste da razão:
an = binom-1/3n (-x)^n
Simplificando, para grandes $ n $, o limite fica:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | binom-1/3n+1 (-x)^n+1binom-1/3n (-x)^n | = limn to infty | -1/3 - nn + 1 cdot (-x) |
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
n
Então, o raio de convergência é $ R = 1 $.

Resposta

A série de Maclaurin para $ f(x) = - (1 - x)^{-1/3} $ é:
f(x) = - (1 - x)^-1/3
E o raio de convergência dessa série é $ R = 1 $.

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