Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
:
Encontre os cinco primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções
e
(lembre que a solução geral é da forma
).
Encontre os cinco primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções
Passo 1
A equação é (x²+2)y’’+3x y’−y=0, queremos uma solução em série de potências em torno de x₀=0. O conteúdo é método de séries de potências para equações diferenciais em ponto regular, e vamos precisar assumir y=∑ₙ₌₀⁺∞ aₙ xⁿ e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Escrevemos y, y’ e y’’ como séries centradas em x=0:
Substituindo em (x²+2)y’’+3x y’−y=0 e reagruppando as potências xⁿ, obtemos para todo n ≥ 0:
Passo 3
A relação de recorrência simplifica-se para
Isso nos dá dois ramos independentes: um envolvendo só os a₀,a₂,a₄,… (série par) e outro com a₁,a₃,a₅,… (série ímpar).
Passo 4
Para a solução y₁ normalizada em y₁(0)=1 (isto é, a₀=1 e a₁=0), calculamos os cinco primeiros coeficientes não nulos:
Passo 5
Para a solução y₂ normalizada em y₂(0)=0 e y₂’(0)=1 (isto é, a₀=0 e a₁=1), obtemos:
Resposta
As duas soluções fundamentais até o quinto termo não nulo são:
y₁(x)=1+\frac{1}{4}x² -\frac{7}{96}x⁴+\frac{161}{5760}x⁶ -\frac{7567}{645120}x⁸+…
y₂(x)=x -\frac{1}{6}x³+\frac{7}{120}x⁵ -\frac{119}{5040}x⁷+\frac{3689}{362880}x⁹+…
y₁(x)=1+\frac{1}{4}x² -\frac{7}{96}x⁴+\frac{161}{5760}x⁶ -\frac{7567}{645120}x⁸+…
y₂(x)=x -\frac{1}{6}x³+\frac{7}{120}x⁵ -\frac{119}{5040}x⁷+\frac{3689}{362880}x⁹+…