Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0 :
Encontre os cinco primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (lembre que a solução geral é da forma y=c1 y1+c2 y2 ).
(x^2+2) y^prime prime+3 x y^prime-y=0, y(0)=1, y(0)=-2 ( Note que x0=0)

Passo 1

A equação é (x²+2)y’’+3x y’−y=0, queremos uma solução em série de potências em torno de x₀=0. O conteúdo é método de séries de potências para equações diferenciais em ponto regular, e vamos precisar assumir y=∑ₙ₌₀⁺∞ aₙ xⁿ e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos y, y’ e y’’ como séries centradas em x=0:
y=sumn=0^infty an x^n,
y'=sumn=0^infty (n+1)an+1x^n,
y''=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n
Substituindo em (x²+2)y’’+3x y’−y=0 e reagruppando as potências xⁿ, obtemos para todo n ≥ 0:
2(n+2)(n+1)an+2+n(n-1)an+3n an - an =0

Passo 3

A relação de recorrência simplifica-se para
an+2 = -n^2+2n-12(n+2)(n+1),an
Isso nos dá dois ramos independentes: um envolvendo só os a₀,a₂,a₄,… (série par) e outro com a₁,a₃,a₅,… (série ímpar).

Passo 4

Para a solução y₁ normalizada em y₁(0)=1 (isto é, a₀=1 e a₁=0), calculamos os cinco primeiros coeficientes não nulos:
a2=tfrac14, a4=-tfrac796, a6=tfrac1615760, a8=-tfrac7567645120

Passo 5

Para a solução y₂ normalizada em y₂(0)=0 e y₂’(0)=1 (isto é, a₀=0 e a₁=1), obtemos:
a3=-tfrac16, a5=tfrac7120, a7=-tfrac1195040, a9=tfrac3689362880

Resposta

As duas soluções fundamentais até o quinto termo não nulo são:
y₁(x)=1+\frac{1}{4}x² -\frac{7}{96}x⁴+\frac{161}{5760}x⁶ -\frac{7567}{645120}x⁸+…
y₂(x)=x -\frac{1}{6}x³+\frac{7}{120}x⁵ -\frac{119}{5040}x⁷+\frac{3689}{362880}x⁹+…

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