Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função $ f(x, y) = \int_{x}^{y} e^{\sin t} , dt $ e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante: quando temos uma função definida por uma integral cujos limites dependem de uma variável, a derivada dessa função em relação a essa variável pode ser encontrada usando a Regra de Leibniz. A regra diz que se $ F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é:
Isso significa que você avalia a função $ g(t) $ nos limites superior e inferior, multiplica pelas derivadas desses limites e subtrai.
Passo 3
Vamos aplicar essa regra à nossa função $ f(x, y) $:
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Aqui, $ y $ é tratado como uma constante.
Usando a Regra de Leibniz:
Note que $ b(x) = y $ é constante em relação a $ x $, então $ b’(x) = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, $ x $ é tratado como uma constante.
Aplicando novamente a Regra de Leibniz:
Dessa vez, $ a(y) = x $ é constante em relação a $ y $, então $ a’(y) = 0 $.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \int_{x}^{y} e^{\sin t} , dt $ são: