A função abaixo é contínua no ponto (0,0) ?
f(x, y)=cc x yx^2+x y+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos analisar se a função dada é contínua no ponto (0,0). A função é:
f(x, y)=cc xyx^2+xy+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Para verificar a continuidade no ponto (0,0), precisamos verificar se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0), que é 0. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
Onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo. Substituindo na função, temos:
f(r, theta) = (r costheta)(r sintheta)(r costheta)^2 + (r costheta)(r sintheta) + (r sintheta)^2

Passo 3

Simplificando a expressão:
f(r, theta) = r^2 costheta sinthetar^2 cos^2theta + r^2 costheta sintheta + r^2 sin^2theta
Podemos fatorar r^2 do denominador:
f(r, theta) = r^2 costheta sinthetar^2 (cos^2theta + costheta sintheta + sin^2theta)
Cancelando r^2:
f(r, theta) = costheta sinthetacos^2theta + costheta sintheta + sin^2theta

Passo 4

Agora, observamos que a expressão resultante não depende de r. Ou seja, quanto r se aproxima de 0, o valor de f(r, theta) depende apenas de theta. Isso significa que o limite da função pode variar dependendo do ângulo theta pelo qual nos aproximamos de (0,0).

Passo 5

Para confirmar, vamos calcular o limite em duas direções diferentes:
  1. Direção y = 0 (ou seja, theta = 0):
    Substituindo theta = 0 na expressão:
    f(r, 0) = cos0 cdot sin0cos^20 + cos0 cdot sin0 + sin^20 = 1 cdot 01 + 0 + 0 = 0
    Então, o limite nessa direção é 0.
  2. Direção y = x (ou seja, theta = pi4):
    Substituindo theta = pi4 na expressão:
    f(r, pi4) = cospi4 cdot sinpi4cos^2pi4 + cospi4 cdot sinpi4 + sin^2pi4 = (raiz22)^2(raiz22)^2 + (raiz22)^2 + (raiz22)^2 = 1232 = 13
    Então, o limite nessa direção é 13.

Passo 6

Como os limites nas duas direções diferentes são distintos ( 0 e 13), isso significa que o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) não é único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

A função f(x, y) não é contínua no ponto (0,0).

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