A função abaixo é contínua no ponto
?
Passo 1
Vamos analisar se a função dada é contínua no ponto
. A função é:
Para verificar a continuidade no ponto
, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 0. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Substituindo na função, temos:
Passo 3
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
do denominador:
Cancelando
:
Passo 4
Agora, observamos que a expressão resultante não depende de
. Ou seja, quanto
se aproxima de 0, o valor de
depende apenas de
. Isso significa que o limite da função pode variar dependendo do ângulo
pelo qual nos aproximamos de
.
Passo 5
Para confirmar, vamos calcular o limite em duas direções diferentes:
-
Direção
(ou seja, ): Substituindona expressão: Então, o limite nessa direção é 0. -
Direção
(ou seja, ): Substituindona expressão: Então, o limite nessa direção é.
Passo 6
Como os limites nas duas direções diferentes são distintos (
e
), isso significa que o limite da função
quando
se aproxima de
não é único. Portanto, o limite não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.