Utilizando as técnicas de integração que aprendemos, resolva as integrais.
integral cos ^5 x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cos^5x,dx
É uma integral de potência ímpar de cosseno. Vamos usar a identidade cos^2 x = 1 - sin^2 x e depois a substituição u = sin x.

Passo 2

Separe um fator de cos x e escreva o restante em função de sin x:
cos^5x = (cos^2 x)^2 ,cos x = l(1 - sin^2 xr)^2 cos x

Passo 3

Faça a mudança de variável
u = sin x, du = cos x,dx
Então
integral cos^5x,dx = integral l(1 - sin^2 xr)^2 cos x,dx = integral (1 - u^2)^2,du

Passo 4

Expanda o quadrado e integre termo a termo:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
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integral (1 - u^2)^2,du = integral l(1 - 2u^2 + u^4r),du = integral 1,du - 2integral u^2,du + integral u^4,du

Passo 5

Calcule as primitivas:
integral 1,du = u, integral u^2,du = u^33, integral u^4,du = u^55
Portanto
integral (1 - u^2)^2,du = u - 2cdotu^33 + u^55 + C = u - 23u^3 + 15u^5 + C

Passo 6

Volte à variável x usando u = sin x:
integral cos^5x,dx = sin x - tfrac23,sin^3 x + tfrac15,sin^5 x + C

Resposta

integral cos^5x,dx = sin x - 23sin^3 x + 15sin^5 x + C

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