Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=y e^x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=y e^{x y}. O conteúdo aqui é diferenciação parcial, usando regra do produto e regra da cadeia para tratar o termo e^{x y}. Vamos tratar y como constante em ∂f/∂x e x como constante em ∂f/∂y.

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, vemos f(x,y)=y·e^{x y}. Como y é constante, aplicamos a regra do produto:
O fator y permanece e derivamos e^{x y} em relação a x usando regra da cadeia:
partialpartial xe^x y=e^x ycdot y
Logo:
partial fpartial x=ycdotl(e^x ycdot yr)=y^2 e^x y

Passo 3

Para calcular ∂f/∂y, tratamos x como constante em f(x,y)=y·e^{x y}. Novamente aplicamos regra do produto:
  1. Derivada de y é 1, vezes e^{x y} dá e^{x y}.
  2. Mantemos y e derivamos e^{x y} em relação a y: pela regra da cadeia
partialpartial ye^x y=e^x ycdot x
Somando as duas contribuições:
partial fpartial y=e^x y+ycdot(e^x ycdot x)=e^x y(1+x y)

Resposta

fx(x,y)=y^2 e^x y e fy(x,y)=e^x y(1+x y)

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