Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
e) f(x, y)=x y e^x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas parciais. Pra resolver, vamos precisar saber como derivar funções que têm mais de uma variável, mantendo uma variável fixa enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante. A função fica .

Passo 3

Para derivar em relação a , usamos a regra do produto, já que temos um produto de e . A regra do produto diz que a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
  • partial fpartial x = y cdot (1 cdot e^x + x cdot e^x) = y cdot e^x (1 + x) então
  • então
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante. A função é .

Passo 6

Derivando em relação a partial fpartial y = x cdot e^x , como e são constantes em relação a , a derivada é simplesmente:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial x = y cdot e^x (1 + x) são:
partial fpartial y = x cdot e^x
e

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