Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y, z, w)=2 x^2 z+5 y w^3

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z,w)=2x^2z+5yw^3. O conteúdo envolvido é derivada parcial de funções de várias variáveis e vamos precisar lembrar que, ao derivar em relação a uma variável, tratamos as demais como constantes.

Passo 2

Antes de calcular, vale relembrar: a derivada parcial de f em relação a uma variável u é obtida derivando f normalmente como se fosse função de uma única variável u, mantendo todas as outras fixas.

Passo 3

Para calcular partial fpartial x, tratamos y,z,w como constantes. A parte 2x^2z em relação a x gera 4xz e 5yw^3 é constante, gerando 0. Assim, partial fpartial x=4xz.

Passo 4

Para calcular partial fpartial y, tratamos x,z,w como constantes. A parte 5yw^3 em relação a y gera 5w^3 e 2x^2z é constante, gerando 0. Logo, partial fpartial y=5w^3.

Passo 5

Para calcular partial fpartial z, tratamos x,y,w como constantes. A parte 2x^2z em relação a z gera 2x^2 e 5yw^3 é constante, gerando 0. Então, partial fpartial z=2x^2.

Passo 6

Para calcular partial fpartial w, tratamos x,y,z como constantes. A parte 5yw^3 em relação a w gera 15yw^2 (usando a regra do expoente) e 2x^2z é constante, gerando 0. Portanto, partial fpartial w=15yw^2.

Resposta

partial fpartial x=4xz, partial fpartial y=5w^3, partial fpartial z=2x^2, partial fpartial w=15yw^2

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