Uma lata cilíndrica deve ser feita para conter 1 I de óleo (1000 cm³). Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fabricar a lata.
Considere que a área da superfície é
Resposta:
, que simplificando resultará em
Considere que a área da superfície é
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede pra achar as dimensões de um cilindro (raio e altura) que comporta 1000 cm³ de óleo e que minimizam a área de metal usada. O conteúdo é otimização de funções com restrição (volume) e vamos usar cálculo diferencial para encontrar o mínimo.
Passo 2
A relação de volume de um cilindro é
. Como
cm³, expressamos a altura em função do raio:
Passo 3
A área da superfície é dada por
. Substituindo
temos
Passo 4
Pra achar o mínimo, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Isso leva a
Passo 5
Logo
Para achar
Passo 6
Concluímos que a lata de custo mínimo tem raio
e altura
.