Uma lata cilíndrica deve ser feita para conter 1 I de óleo (1000 cm³). Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fabricar a lata.
Considere que a área da superfície é As=2 pi r^2+2 pi r h
Resposta: r=raiz[3]500pi e h=1000pi r^2, que simplificando resultará em h=2 r

Passo 1

O enunciado pede pra achar as dimensões de um cilindro (raio e altura) que comporta 1000 cm³ de óleo e que minimizam a área de metal usada. O conteúdo é otimização de funções com restrição (volume) e vamos usar cálculo diferencial para encontrar o mínimo.

Passo 2

A relação de volume de um cilindro é V=pi r^2h. Como V=1000 cm³, expressamos a altura em função do raio:
h=1000pi r^2

Passo 3

A área da superfície é dada por As=2pi r^2+2pi r h. Substituindo h temos
As(r)=2pi r^2+2pi rcdot1000pi r^2=2pi r^2+2000r

Passo 4

Pra achar o mínimo, calculamos a derivada de As(r) e igualamos a zero:
As'(r)=4pi r-2000r^2=0
Isso leva a
4pi r=2000r^2Rightarrow r^3=20004pi=500pi

Passo 5

Logo
r=raiz[3]500pi
Para achar h, voltamos a h=1000/(pi r^2). Mas, notando que r^3=500/pi,
h=1000pi r^2=2pi r^3pi r^2=2r

Passo 6

Concluímos que a lata de custo mínimo tem raio r=raiz[3]500/pi e altura h=2r.

Resposta

r=raiz[3]tfrac500pi, h=2r

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