Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y, z, t)=x y z^{2} \operatorname{tg}(y t).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z,t)=x\,y\,z^{2}\,\tan(y\,t).
O conteúdo aqui é derivação parcial, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y, z e t como constantes. Como f é produto de x por uma constante, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = y\,z^{2}\,\tan(y\,t).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} usamos que
f(x,y,z,t)=x\,z^{2}\,\bigl[y\,\tan(y\,t)\bigr].
Aplicando regra do produto em y\cdot\tan(y\,t) e regra da cadeia em \tan(y\,t),
\frac{d}{dy}\bigl[y\,\tan(y\,t)\bigr] =\tan(y\,t)+y\cdot\operatorname{sec}^2(y\,t)\cdot t.
Multiplicando por x\,z^2,
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,z^{2}\,\bigl[\tan(y\,t)+y\,t\,\operatorname{sec}^2(y\,t)\bigr].

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} consideramos x, y, t constantes e aplicamos a derivada de z^2:
\frac{\partial f}{\partial z} = x\,y\cdot 2z\;\tan(y\,t) = 2\,x\,y\,z\,\tan(y\,t).

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} tratamos x, y, z como constantes e derivamos \tan(y\,t) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\tan(y\,t) =\operatorname{sec}^2(y\,t)\cdot y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial t} = x\,y\,z^{2}\;\operatorname{sec}^2(y\,t)\;y = x\,y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{sec}^2(y\,t).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,z^{2}\,\tan(y\,t),
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,z^{2}\,\bigl[\tan(y\,t)+y\,t\,\operatorname{sec}^2(y\,t)\bigr],
\frac{\partial f}{\partial z} = 2\,x\,y\,z\,\tan(y\,t),
\frac{\partial f}{\partial t} = x\,y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{sec}^2(y\,t).

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